本文主要介紹三角與對數的複合函數y=ln(2 sinx)的定義域、單調性和凸凹性，并用導數知識解析函數的單調區間和凸凹區間。
因為-1≤sinx≤1，
所以-1≤sinx≤1，則有：
0＜1=2-1≤2 sinx≤1 2=3，
則函數y=ln(2 sinx)的真數部分為正數，符合定義要求，所以該函數的定義域為全體實數，即定義域為：(-∞， ∞)。
※.函數單調性：由導數的知識來求解和判斷。
∵y=ln(2 sinx)，
∴dy/dx=cosx/(2 sinx),
令dy/dx=0,則cosx=0，此時x=kπ π/2,k∈Z.
函數的單調性為：
(1)當cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ π/2]時，dy/dx＞0，此時函數為增函數；
(2)當cosx＜0,即x∈[2kπ π/2,2kπ 3π/2]時，dy/dx＜0，此時函數為減函數。
因為dy/dx=cosx/(2 sinx)，
所以d^2y/dx^2
=[-sinx(2 sinx)-cosxcosx]/(2 sinx)^2,
=-(2sinx sin^2x cos^2x)/(2 sinx)^2
=-(2sinx 1)/(2 sinx)^2.
(1)當-(2sinx 1)≥0時，即2sinx 1≤0，則：
[2kπ π arcsin(1/2),2kπ 2π-arcsin(1/2)],此時d^2y/dx^2≥0，函數為凹函數，該區間為函數的凹區間。
(2)當-(2sinx 1)＜0時，即2sinx 1＞0，則：
[2kπ-arcsin(1/2),2kπ π arcsin(1/2)],此時d^2y/dx^2＜0，函數為凸函數，該區間為函數的凸區間。
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