直線與圓的位置關系中考分析?備戰2021中考：直線與圓的位置關系（100套）a，接下來我們就來聊聊關于直線與圓的位置關系中考分析?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

直線與圓的位置關系中考分析

備戰2021中考：直線與圓的位置關系（100套）a

一、選擇題

1. （2011甯波市，11，3分）如圖，⊙O1的半徑為1，正方形ABCD的邊長為6，點O2為正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB與P點，O1O2＝8．若将⊙O1繞點P按順時針方向旋轉360°，在旋轉過程中，⊙O1與正方形ABCD的邊隻有一個公共點的情況一共出現

A． 3次 B．5次 C． 6次 D． 7次

【答案】B

2. （2011浙江台州，10,4分）如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是（ ）

A. B. C. 3 D.2

【答案】B

3. （2011浙江溫州，10，4分）如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O邊AB，BC都相切，點E，F分别在邊AD，DC上．現将△DEF沿着EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE＝2，則正方形ABCD的邊長是( )

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

4. （2011浙江麗水，10，3分）如圖，在平面直角坐标系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ）

A．點(0，3) B．點(2，3) C．點(5，1) D．點(6，1)

【答案】C

5. （2011浙江金華，10，3分）如圖，在平面直角坐标系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ）

A．點（0，3） B．點（2，3） C．點（5，1） D．點(6，1)

【答案】C

6. （2011山東日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項中⊙O的半徑為的是（ ）

【答案】C

7. （2011湖北鄂州，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．67.5°

【答案】D

8. (2011 浙江湖州，9，3)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，BC＝OB， CE是⊙O的切線，切點為D，過點A作AE⊥CE，垂足為E，則CD：DE的值是

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

9. （2011台灣全區，33）如圖(十五)，為圓O的直徑，在圓O上取異于A、B的一點C，并連接、

．若想在上取一點P，使得P與直線BC的距離等于長，判斷下列四個作法何者正确？

A．作的中垂線，交于P點

B．作∠ACB的角平分線，交于P點

C．作∠ABC的角平分線，交于D點，過D作直線BC的并行線，交于P點

D．過A作圓O的切線，交直線BC于D點，作∠ADC的角平分線，交于P點

【答案】Ｄ

10．（2011甘肅蘭州，3，4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠A=25°，則∠D等于

A．20° B．30° C．40° D．50°

【答案】C

11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O的面積為，若點0到直線的距離為，則直線與⊙O的位置關系是C

(A)相交 (B)相切 (C)相離 (D)無法确定

【答案】C

12. (2011重慶綦江，7，4分) 如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那麼∠AOB所對弧的長度為（ ）

A．6л B．5л C．3л D．2л

【答案】：D

13. （2011湖北黃岡，13，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO=CD，則∠PCA=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．67.5°

【答案】D

14. （2011山東東營，12，3分）如圖，直線與x軸、y分别相交與A、B兩點，圓心P的坐标為（1，0），圓P與y軸相切與點O。若将圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相交時，橫坐标為整數的點P′的個數是（ ）

A．2 B．3 C．4 D． 5

【答案】B

15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy中，以點(-3，4)為圓心，4為半徑的圓（ ）

A．與x軸相交，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相交

C．與x軸相切，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離

【答案】C

16. （2011山東棗莊，7，3分）如圖，是的切線，切點為A，PA=2,∠APO=30°，則的半徑為（ ）

A.1 B. C.2 D.4

【答案】C

二、填空題

1. （2011廣東東莞，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結BC.若∠A＝40°，則∠C＝ °

【答案】

2. （2011四川南充市，13，3分）如圖，PA，PB是⊙O是切線，A，B為切點， AC是⊙O的直徑，若∠BAC=25°，則∠P= __________度.

【答案】50

3. （2011浙江衢州，16,4分）木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑.用角尺的較短邊緊靠，并使較長邊與相切于點.假設角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點，較短邊.若讀得長為，則用含的代數式表示為 .

【答案】當時，；當.

4. (2011浙江紹興，16，5分) 如圖，相距2cm的兩個點在在線上，它們分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在上同時向右平移，當點分别平移到點的位置時，半徑為1 cm的與半徑為的相切，則點平移到點的所用時間為 s.

【答案】

5. （2011江蘇蘇州，16,3分）如圖，已知AB是⊙O的一條直徑，延長AB至C點，使得AC=3BC，CD與⊙O相切，切點為D.若CD=，則線段BC的長度等于__________.

【答案】1

6. （2011江蘇宿遷,17,3分）如圖，從⊙O外一點A引圓的切線AB，切點為B，連接AO并延長交圓于點C，連接BC．若∠A＝26°，則∠ACB的度數為 ▲ ．

【答案】32

7. （2011山東濟甯，13，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以點C為圓心，以3cm長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是 ．

【答案】相交

8. （2011廣東汕頭，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結BC.若∠A＝40°，則∠C＝ °

【答案】

9. （2011山東威海，17，3分）如圖①，将一個量角器與一張等腰直角三角形（△ABC）紙片放置成軸對稱圖形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點D重合，沒得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC、BC相切，如圖②，則AB的長為 cm.（精确到0.1cm）

圖① （第17題） 圖②

【答案】 24.5

10．（2011四川宜賓,11,3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40°，則∠BAC=_____．

【答案】20°

11. （2010湖北孝感，18，3分）如圖，直徑分别為CD、CE的兩個半圓相切于點C，大半

圓M的弦AB與小半圓N相切于點F，且AB∥CD，AB=4，設、的長分别為x、y，線

段ED的長為z，則z（x y）= .

【答案】8π

12. （2011廣東省，9，4分）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點，連結BC.若∠A＝40°，則∠C＝ °

【答案】

三、解答題

1. （2011浙江義烏，21，8分）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與弦AD的

延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD= .

（1）求證：CD∥BF；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求弦CD的長.

【答案】（1）∵BF是⊙O的切線 ∴AB⊥BF

∵AB⊥CD

∴CD∥BF

（2）連結BD ∵AB是直徑 ∴∠ADB=90°

∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=

∴cos∠BAD=

又∵AD=3 ∴AB=4

∴⊙O的半徑為2

（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE=

∴ED=

∴CD=2ED=2(7)

2. （2011浙江省舟山，22，10分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．

（1）求證：CA是圓的切線；

（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．

【答案】（1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC ∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD ∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．

(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圓的直徑為10.

3. （2011安徽蕪湖，23，12分）如圖，已知直線交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作，垂足為D.

(1) 求證：CD為⊙O的切線；

(2) 若DC DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度.

【答案】

（1）證明：連接OC， ……………………………………1分

因為點C在⊙O上，OA=OC，所以 因為，所以，有.因為AC平分∠PAE，所以……………3分

所以 ……4分

又因為點C在⊙O上，OC為⊙O的半徑，所以CD為⊙O的切線. ………………5分

（2）解:過O作，垂足為F，所以，

所以四邊形OCDF為矩形，所以 ……………………………7分

因為DC DA=6，設,則

因為⊙O的直徑為10，所以，所以.

在中，由勾股定理知

即化簡得，

解得或x=9. ………………9分

由，知，故. ………10分

從而AD=2， …………………11分

因為，由垂徑定理知F為AB的中點，所以…………12分

4. （2011山東濱州，22，8分）如圖，直線PM切⊙O于點M,直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM, 連接OM、BC.

求證：（1）△ABC∽△POM;

(2)2OA2=OP·BC.

【答案】證明：（1）∵直線PM切⊙O于點M，∴∠PMO=90°………………1分

∵弦AB是直徑，∴∠ACB=90°………………2分

∴∠ACB=∠PMO………………3分

∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分

∴△ABC∽△POM………………5分

(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分

又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分

∴2OA2=OP·BC………………8分

5. （2011山東菏澤，18，10分）如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4，

(1)求證：△ABE∽△ADB；

(2)求AB的長；

(3)延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

解：(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，

又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，

(2) ∵△ABE∽△ADB，∴，

∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12

∴AB=．

(3) 直線FA與⊙O相切，理由如下：

連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，

∴，

BF=BO=，

∵AB=，∴BF=BO=AB，可證∠OAF=90°，

∴直線FA與⊙O相切．

6. （2011山東日照，21，9分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．

求證：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC2＝AB·AD．

【答案】證明：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，

即∠ACD ∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC ∠ACO=90°. ② 由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如圖，連接BC．

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．

在Rt△ACD與△RtACD中，

∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，

∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．

7. （2011浙江溫州，20，8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．已知OA＝3，AE＝2，

(1)求CD的長；

(2)求BF的長．

【答案】解：(1)連結OC，在Rt△OCE中，．

∵CD⊥AB，

∴

(2) ∵BF是⊙O 的切線，

∴FB⊥AB，

∴CE∥FB，

∴△ACE∽△AFB，

∴，，

∴

8. （2011浙江省嘉興，22，12分）如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．

（1）求證：CA是圓的切線；

（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．

【答案】（1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC ∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD ∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．

(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圓的直徑為10.

9. （2011廣東株洲，22，8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點E，D 為AC上一點，∠AOD=∠C．

（1）求證：OD⊥AC；

（2）若AE=8，，求OD的長．

【答案】（1）證明：∵BC是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑

∴∠ABC=90°，∠A ∠C=90°，

又∵∠AOD=∠C，

∴∠AOD ∠A=90°，

∴∠ADO=90°，

∴OD⊥AC.

（2）解：∵OD⊥AE，O為圓心，

∴D為AE中點 ，

∴，

又 ，∴ OD=3.

10．（2011山東濟甯，20，7分）如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F是CD的中點，連接OF，

（1）求證：OD∥BE；

（2）猜想：OF與CD有何數量關系？并說明理由．

【答案】（1）證明：連接OE，

∵AM、DE是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑，

∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，

∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，

∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，

∴OD∥BE

（2）OF=CD，

理由：連接OC，

∵BC、CE是⊙O的切線，

∴∠OCB=∠OCE

∵AM∥BN，

∴∠ADO ∠EDO ∠OCB ∠OCE=180°

由（1）得∠ADO=∠EDO，

∴2∠EDO 2∠OCE=180°，即∠EDO ∠OCE=90°

在Rt△DOC中，∵F是DC的中點，

∴OF=CD．

11. （2011山東聊城，23，8分）如圖，AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓于點D，點E是的中點，連接OD、AE，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P，

（1）求∠AOD的度數；

（2）求證：PD是半圓O的切線；

【答案】（1）∵點C是OA的中點，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，

（2）證明：連接OC，點E是BD弧的中點，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圓O的切線

12. （2011山東濰坊，23，11分）如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2.射線AM、BN為半圓的切線.在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC.過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F.過D點做半圓的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q.

（1）求證：△ABC∽ΔOFB；

（2）當ΔABD與△BFO的面積相等時，求BQ的長；

（3）求證：當D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點.

【解】（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.

又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.

∵BN是半圓的切線，故∠BCA=∠OBF=90°.

∴△ACB∽△OBF.

（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，

∴△ABD∽△BFO，

當△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO.

∴AD=BO=AB =1.

∵DA⊥AB，∴DA為⊙O的切線.

連接OP，∵DP是半圓O的切線，

∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，

∴四邊形ADPO為正方形.

∴DP//AB，∴四邊形DABQ為矩形.

∴BQ=AD=1.

（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，

∴，∴.

∵DPQ是半圓O的切線，∴AD=DP，QB=QP.

過點Q作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，，

∴，

∴，∴BF=2BQ，∴Q為BF的中點.

13. （2011四川廣安，29，10分）如圖8所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）求證： AQ·PQ= OQ·BQ；

（3）設∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的長

【答案】（1）證明：如圖，連結OP

∵PA=PB，AO=BO，PO=PO

∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°

∴PB是⊙O的切線

（2）證明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°

∴△QPB∽QOA

∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ

（3）解：cos== ∴AO=12

∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ=

∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12

∵AB·PO= OB·BP ∴AB=

14. （2011江蘇淮安，25，10分）如圖，AD是⊙O的弦，AB經過圓心O，交⊙O于點C，∠DAB=∠B=30°.

(1)直線BD是否與⊙O相切？為什麼？(2)連接CD，若CD=5，求AB的長.

【答案】(1)答：直線BD與⊙O相切.理由如下：

如圖，連接OD，

∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，

∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，

即OD⊥BD，

∴直線BD與⊙O相切.

(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，

∴∠DOB=∠ODA ∠DAB=60°，

又∵OC=OD，

∴△DOB是等邊三角形，

∴OA=OD=CD=5.

又∵∠B=30°，∠ODB=30°，

∴OB=2OD=10.

∴AB=OA OB=5 10=15.

15. （2011江蘇南通，22，8分）（本小題滿分8分）

如圖，AM為⊙O的切線，A為切點，BD⊥AM于點D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度數.

【答案】60°.

16. （2011四川綿陽22，12）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的

半圓O與BC相切.

(1)求證：OB丄OC;

(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1與半⊙O 外切，并與BC、CD 相切，求⊙O1的面積.

【答案】（1）證明：連接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中

∵

∴△AOB≌△AOB（HL）

同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC

(2) 過點做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，設O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根據勾股定理可知O1G² GC²=O1C²

x² 3x²=（6-x）²∴(x-2)(x 6)=0,x=2

17. （2011四川樂山24，10分）如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD.

(1)求證:CD是⊙O的切線;

(2)過點B作O的切線交CD的延長線于點E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的長

【答案】

⑴證明：連接OD

∵OA=OD

∴∠ADO=∠OAD

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADO ∠BDO=90°

∴在RtΔABD中，∠ABD ∠BAD=90°

∵∠CDA=∠CBD

∴∠CDA ∠ADO=90°

∴OD⊥CE

即CE為⊙O的切線

18. （2011四川涼山州，27，8分）如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為的中點，連接交于點，為的角平分線，且，垂足為點。

求證：是半圓的切線；

若，，求的長。

【答案】

⑴證明：連接，

∵是直徑 ∴

有∵于 ∴

∵ ∴

∵是的角平分線

∴

又 ∵為的中點

∴

∵于

∵ 即

又∵是直徑 ∴是半圓的切線 ···4分

（2）∵，。

由（1）知，，∴。

在中，于，平分，

∴，∴。

由∽，得。

∴，

∴。

19. （2011江蘇無錫，27，10分）(本題滿分10分)如圖，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。動點P從O點出發，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊OA、AB、BO作勻速運動；動直線l從AB位置出發，以每秒1個單位的速度向x軸負方向作勻速平移運動。若它們同時出發，運動的時間為t秒，當點P運動到O時，它們都停止運動。

(1)當P在線段OA上運動時，求直線l與以點P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值範圍；

(2)當P在線段AB上運動時，設直線l分别與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發時間，使得四邊形CPBD會是菱形。

【答案】

解：(1)當點P在線段OA上時，P(3t，0)，…………………………………………………………(1分)

⊙P與x軸的兩交點坐标分别為(3t − 1，0)、(3t 1，0)，直線l為x = 4 − t，

若直線l與⊙P相交，則4 − t < 3t 1．(3t − 1 < 4 − t，)……………(3分)

解得：4(3) < t < 4(5)．……………………………………………………………………(5分)

(2)點P與直線l運動t秒時，AP = 3t − 4，AC = t．若要四邊形CPBD為菱形，則CP // OB，

∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴AO(AC)，∴4(t)，解得t = 9(16)，……(6分)

此時AP = 3(4)，AC = 9(16)，∴PC = 9(20)，而PB = 7 − 3t = 3(5) ≠ PC，

故四邊形CPBD不可能時菱形．……………………………………………(7分)

(上述方法不唯一，隻要推出矛盾即可)

現改變直線l的出發時間，設直線l比點P晚出發a秒，

若四邊形CPBD為菱形，則CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，AO(AC)，∴4(t − a)，

即：．(t − a)，解得24(5)

∴隻要直線l比點P晚出發24(5)秒，則當點P運動24(41)秒時，四邊形CPBD就是菱形．………………(10分)

20．（2011湖北武漢市，22，8分）（本題滿分8分）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點．過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B．延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E．

（1）求證：PB為⊙O的切線；

（2）若tan∠ABE=，求sinE的值．

【答案】(本題8分)（1）證明：連接OA

∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°

∵OA＝OB，OP⊥AB于C

∴BC＝CA，PB＝PA

∴△PBO≌△PAO

∴∠PBO＝∠PAO＝90°

∴PB為⊙O的切線

（2）解法1：連接AD，∵BD是直徑，∠BAD＝90°

由（1）知∠BCO＝90°

∴AD∥OP

∴△ADE∽△POE

∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC

∵tan∠ABE=1/2

∴OC/BC=1/2，設OC＝t,則BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t

∴EA/EP=AD/OP=2/5，可設EA＝2m,EP=5m,則PA=3m

∵PA=PB∴PB=3m

∴sinE=PB/EP=3/5

（2）解法2：連接AD，則∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,設OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，

∴PA＝PB＝2t 過A作AF⊥PB于F，則AF·PB=AB·PC

∴AF=t 進而由勾股定理得PF＝t

∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

21. （2011湖南衡陽，24，8分）如圖，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長線交與點D．

(1)判斷CD與⊙O的位置關系并說明理由；

(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的長．

【解】 (1) CD與⊙O的位置關系是相切，理由如下：

作直徑CE，連結AE．

∵CE是直徑， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，

∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，

∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥D C，∴CD與⊙O相切．

（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，

又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，

∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，

∴∠DOA=60°，

∴在Rt△DCO中， =，

∴DC=OC=OA=2．

22. （2011湖南永州，23，10分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是⊙O上一點（不與A，B重合），連接AC，BC，過點O作OD∥AC交BC于點D，在OD的延長線上取一點E，連接EB，使∠OEB=∠ABC．

⑴求證：BE是⊙O的切線；

⑵若OA=10，BC=16，求BE的長．

【答案】證明：⑴∵AB是半圓O的直徑 ∴∠ACB=90°

∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD ∠ABC=90°

又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD ∠OEB=90° ∴∠OBE=90°

∵AB是半圓O的直徑 ∴BE是⊙O的切線

⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴

∴ ∴

∴．

23. （2011江蘇鹽城，25，10分）如圖，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分别交AC、AB于點E、F．

（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半徑；

（2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

【答案】（1）連接OD. 設⊙O的半徑為r.

∵BC切⊙O于點D，∴OD⊥BC.

∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.

∴AC(OD) = AB(OB)，即 6(r) = 10(10-r). 解得r = 4(15)，

∴⊙O的半徑為4(15).

(2)四邊形OFDE是菱形.

∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=2(1)∠DOB，∴∠B=2(1)∠DOB.

∵∠ODB=90°，∴∠DOB ∠B=90°，∴∠DOB=60°.

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等邊三角形.

∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四邊形OFDE是平行四邊形.

∵OE=OF，∴平行四邊形OFDE是菱形.

24. (20011江蘇鎮江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函數的圖象是直線與x軸、y軸分别相交于A、B兩點.直線過點C(a,0)且與垂直,其中a>0,點P、Q同時從A點出發,其中點P沿射線AB運動,速度為每秒4個單位;點Q沿射線AO運動,速度為每秒5個單位.

(1)寫出A點的坐标和AB的長;

(2)當點P、Q運動了t秒時,以點Q為圓心,PQ為半徑的⊙Q與直線、y軸都相切,求此時a的值.

答案:(1)A(-4,0),AB=5.

(2)由題意得：AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.

∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵點P在上，∴⊙Q在運動過程中保持與相切。

①當⊙Q在y軸右側與y軸相切時，設與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得

,∴PQ=6,

連接QF，則QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得.

∴,,∴QC=,a=OQ QC=.

②當⊙Q在y軸左側與y軸相切時，設與⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得

,∴PQ=.

連接QE，則QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得，∴，，

∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值為和。

25. （2011廣東湛江27,12分）如圖，在中，，點D是AC的中點，且,過點作，使圓心在上，與交于點．

（1）求證：直線與相切；

（2）若,求的直徑．

【答案】（1）證明：連接OD，在中，OA=OD，

所以，

又因為，

所以，所以，即，

所以BD與相切；

（2）由于AE為直徑，所以,由題意可知,又點D是AC的中點，且

，所以可得，即的直徑為5.

26. （2011貴州安順，26，12分）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

⑴求證：點D是AB的中點；

⑵判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

⑶若⊙O的直徑為18，cosB =，求DE的長．

【答案】（1）證明：連接CD,則CD， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴≌

∴AD = BD ， 即點D是AB的中點．

（2）DE是⊙O的切線 ．

理由是：連接OD, 則DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC ， 又∵DE；

∴DE 即DE是⊙O的切線；

（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =， BC = 18，

∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = ， ∴AE = 2，

在中，DE=．

27. （2011河北，25，10分）如圖14-1至14-4中，兩平行線AB,CD間的距離為6，點M為AB上一定點.

思考

如圖14-1，圓心為O的半圓紙片在AB,CD之間（包括AB,CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設∠MOP=α.

當α= 度時，點P到CD的距離最小，最小值為 。

探究一

在圖14-1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB,CD之間順時針旋轉該半圓紙片，直到不能再轉動為止，如圖14-2，得到最大旋轉角∠BMO= 度，此時點N到CD的距離是

探究二

将圖14-1中的扇形紙片NOP按下面對α要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB,CD之間順時針旋轉。

（1）如圖14-3，當α=60°時，球在旋轉過程中，點p到CD的最小距離，并請指出旋轉角∠BMO的最大值；

（2）如圖14-4，在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請确定α的取值範圍.

（參考數據：sin49°=,cos41°=，tan37°= ）

【答案】思考 90，2；

探究一 30，2；

探究二

（1）由已知得M與P的距離為4，∴當MP⊥AB時，點P到AB的最大距離為4，從而點P到CD的最小距離為6-4=2.當扇形MOP在AB,CD之間旋轉到不能再轉時，弧MP與AB相切，此時旋轉角最大，∠BMO的最大值為90°。

（2）如圖，由探究一可知，點P是弧MP與CD的切點時，α達到最大，即OP⊥CD。此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH ∠OHM=30° 90°=120°。

如圖，當點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD,α達到最小，連接MP，作OH⊥MP于點H，由垂徑定理，得MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小值為98°。∴α的取值範圍是98°≤α≤120°。

一、選擇題

1．(2010江蘇蘇州)如圖，已知A、B兩點的坐标分别為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心坐标為(－1，0)，半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是

A．2 B．1 C． D．

【答案】：C

2．（2010甘肅蘭州）如圖，正三角形的内切圓半徑為1，那麼這個正三角形的邊長為

A． B． C． D．

【答案】D

3．（2010山東青島）如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以點C為圓心，以2 cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是（ ）．

A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交

【答案】B

4．（2010四川眉山）下列命題中，真命題是

A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C．圓的切線垂直于經過切點的半徑

D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直

【答案】C

5．（2010台灣） 圖(四)為△ABC和一圓的重疊情形，此圓與直線BC相切于C點，

且與交于另一點D。若ÐA=70°，ÐB=60°，則 的度數為何？ (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。

【答案】C

6．（2010 嵊州市）如圖,點B是線段AC的中點,過點C的直線與AC成60°的角,在直線上取一點,使∠APB=30°,則滿足條件的點有幾個 ( )

A.3個 B.2個 C.1個 D.不存在

【答案】B

7．（2010 浙江省溫州）如圖，在AABC中，AB=BC=2，以AB為直徑的⊙0與BC相切于點B，則AC等于(▲)

A． B． c．2 D．2

【答案】C

8．（2010 四川南充）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分别相切于點A和點B．點M和點N分别是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60°．下列結論錯誤的是（　　）．

（A）（B）若MN與⊙O相切，則（C）若∠MON＝90°，則MN與⊙O相切（D）l1和l2的距離為2【答案】B

9．（2010 廣東珠海）如圖，PA、PB是O的切線，切點分别是A、B，如果∠P＝60°,

那麼∠AOB等于（ ）

A.60° B.90° C.120° D.150°

【答案】 D

10．（2010四川眉山）下列命題中，真命題是

A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C．圓的切線垂直于經過切點的半徑

D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直

【答案】C

11．（2010湖南婁底）在平面直角坐标系中，以點（3，2）為圓心、3為半徑的圓，一定（ ）

A.與x軸相切，與y軸相切 B.與x軸相切，與y軸相

C.與x軸相交，與y軸相切 D.與x軸相交，與y軸相

【答案】C

12．（2010内蒙赤峰）如圖，⊙O的圓心到直線l的距離為3cm，⊙O的半徑為1cm，将直線l向右（垂直于l的方向）平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是 （ ）

A．1 cm， B．2 cm， C．4cm， D．2 cm或4cm

【答案】D

二、填空題

1．（2010江蘇南京） 如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分别為3cm和5cm，則AB的長為 cm。

【答案】8

2．（2010浙江杭州）如圖, 已知△,，．是的中點，

⊙與AC，BC分别相切于點與點．點F是⊙與的一

個交點，連并延長交的延長線于點. 則 .

【答案】

3．（2010 浙江義烏）已知直線與⊙O相切，若圓心O到直線的距離是5，則⊙O的半徑是 ▲ ．

【答案】5

4．（2010 重慶）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線的距離是4，則直線與⊙O的位置關是 ．

【答案】相離

5．（2010重慶市潼南縣）如圖，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB為直徑的圓，則直線DC與⊙O的位置關系是 .

【答案】相離

6．（2010浙江金華）如圖在邊長為2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中點， 以O為圓心，以OE為半徑畫弧EF.P是上的一個動點，連

結OP，并延長OP交線段BC于點K，過點P作⊙O

的切線，分别交射線AB于點M，交直線BC于點G.

若，則BK﹦ ▲ .

【答案】,

7．（2010湖南懷化）如圖6，已知直線AB是⊙O的切線，A為切點，OB交⊙O于點C，點D在⊙O上，且∠OBA=40°，則∠ADC= ．

【答案】

8．（2010山東泰安）如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點C,點D、E、F是⊙O上三個點，EF∥AB，

若EF=2，則∠EDC的度數為 。

【答案】30°

9．（2010河南）如圖，AB切⊙O于點A，BO交⊙O于點C，點D是異于點C、A的一點，若∠ABO=,則∠ADC的度數是 .

【答案】29°

10．（2010 湖北孝感）P為⊙O外一點，PA、PB分别切⊙O于點A、B，∠APB=50°，

點C為⊙O上一點（不與A、B）重合，則∠ACB的度數為

。

【答案】

11．（2010 四川泸州）如圖7,已知⊙O是邊長為2的等邊△ABC的内切圓,則⊙O的面積為__________.

【答案】

12．（2010 山東淄博）如圖，D是半徑為R的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交直徑AB的延長線于點C，下列四個條件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有

（A）①②　　

（B）①③④　　

（C）②③④　　

（D）①②③④

【答案】D

13．（2010青海西甯）如圖2，已知在直角坐标系中，半徑為2的圓的圓心坐标為（3，-3），當該圓向上平移 個單位時，它與軸相切.

【答案】116°

14．（2010廣東茂名）如圖，已知AD為⊙O的切線，⊙O的直徑AB＝2，弦AC＝1，

則∠CAD＝ ．

【答案】30o

15．（2010廣西百色）如圖，⊙的直徑為20，弦,，垂足為.

則沿射線方向平移 時可與⊙相切.

【答案】4

三、解答題

1．(2010江蘇蘇州) (本題滿分9分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點為F

(1)求證：OE∥AB；

(2)求證：EH=AB；

(3)若，求的值．

【答案】

2．（2010安徽蚌埠）已知⊙過點（3，4）,點與點關于軸對稱，過作⊙的切線交軸于點。

⑴ 求的值；

⑵ 如圖，設⊙與軸正半軸交點為，點、是線段上的動點（與點不重合），連接并延長、交⊙于點、，直線交軸于點，若是以為底的等腰三角形，試探索的大小怎樣變化，請說明理由。

【答案】

⑴

（2）試探索的大小怎樣變化，請說明理由.

解：當、兩點在上運動時（與點不重合），的值不變

過點作于，并延長交于，連接，

交于。

因為為等腰三角形， ，

所以平分

所以弧BN=弧CN，所以，

所以

所以=

即當、兩點在上運動時（與點不重合），的值不變。

3．（2010安徽蕪湖）（本小題滿分12分）

如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧⌒(AB)上一點，過點M點作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點，MD與OA交于N點．

（1）求證：PM＝PN；

（2）若BD＝4，PA＝ 2(3)AO，過點B作BC∥MP交⊙O于C點，求BC的長．

【答案】

4．（2010廣東廣州，24，14分）如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分别過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．

（1）求弦AB的長；

（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由；

（3）記△ABC的面積為S，若＝4，求△ABC的周長.

【答案】解：（1）連接OA，取OP與AB的交點為F，則有OA＝1．

∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因為點D為△ABC的内心，所以，連結AD、BD，則∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因為∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

（3）記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點分别為G，H，連接DG，DC，DH，則有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切線，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切線長定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，

∴△ABC的周長為．

5．（2010甘肅蘭州）（本題滿分10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求證：BC=AB；

（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值.

【答案】

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO

∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB

∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACO ∠OCB=90° …………………………………………………2分

∴∠PCB ∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半徑

∴PC是⊙O的切線 …………………………………………………4分

（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P

∵∠COB=∠A ∠ACO,∠CBO=∠P ∠PCB

∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分

∴BC=OC

∴BC=AB ………………………………………………………6分

(3)連接MA,MB

∵點M是弧AB的中點

∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分

∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM

∵∠BMC=∠BMN

∴△MBN∽△MCB

∴

∴BM2=MC·MN ……………………8分

∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM

∴∠AMB=90°,AM=BM

∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分

∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分

6．（2010山東日照）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．求證：

（1）D是BC的中點；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE．

【答案】

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90° ，

即AD是底邊BC上的高． ………………………………………1分

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中點；………… ……………………………………………3分

(2) 證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，

∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分

又∵ ∠BCE=∠ACD，

∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分

（3）證明：由△BEC∽△ADC，知，

即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分

∵D是BC的中點，∴CD=BC．

又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE

即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分

7．（2010山東煙台）（本題滿分10分）

如圖以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC邊于點E。

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。

【答案】

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