李大潛

中國科學院院士

第三世界科學院院士

複旦大學教授、博士生導師

“

本文是李大潛院士在複旦大學數學科學學院新生迎新大會上的講話，随後演講稿在朋友圈爆紅。你或許會一臉懵，沒錯，一篇關于數學的演講稿竟然就這麼火了。今天就來看看，李大潛院士是怎樣用數學解答你的困惑……

對絕大多數人來說，數學是一生中學得最多的一門課程：從小學到中學，從中學到大學，包括到了研究生的學習階段，都在學習數學。為什麼要花這麼多時間來學習數學？又為什麼一定要努力學好數學呢？

如果認為這種學習隻是為了執行學校與老師的規定，隻是為了應付有關的考試并取得一個好的成績，隻是為了混得一張文憑将來找一個高收入的工作，或者隻是為了或多或少掌握一些有關的數學知識，那麼即使進了數學科學學院，也必然會對數學學習采取一個被動和應付的态度，學習的效果也必然會受到很大的影響。

因此，這個看來似乎很平凡的問題其實很值得大家認真地想一想。

數學的影響和作用可以說是無處不在的

01

要搞清為什麼要學好數學，首先要認識數學這門學科本身的重要性。

世間的萬事萬物都有數與形這兩個側面，數學作為研究現實世界中的數量關系和空間形式的科學，是剔除了物質的其它具體特性，僅僅從數與形的角度來研究整個世界的。數學的作用和地位，現在看來，概括起來可以有以下幾條：

1

數學是一類常青的知識

作為小學、中學到大學必修的重要課程，數學是人類必不可少的知識，這一點不會有人疑問。

人類的許多發現就像過眼煙雲，很多學科是從推翻前人的結論而建立新的理論的；然而，古往今來數學的發展，不是後人摧毀前人的成果，而是每一代的數學家都在原有建築的基礎上，再添加一層新的建築。因而，數學的結論往往具有永恒的意義。

歐幾裡得是二千多年以前的古希臘數學家，然而，以他命名的歐幾裡得幾何至今還在發揮着重要的作用，其中的勾股定理，不僅沒有被人認為老掉了牙而不屑一顧，相反還被人稱為千古第一定理，一直被高度頌揚、反複應用，就充分地說明了這一點。

2

數學是一種科學的語言

伽利略曾說過：“大自然這本書是用數學語言寫成的。……除非你首先學懂了它的語言，……，否則這本書是無法讀懂的。” 數學這種科學的語言，是十分精确的，這是數學這門學科的特點。

同時，這種語言又是世界通用的。加減乘除，乘方開方，指數對數，微分積分，常數等等，這些數學語言和符号一開始雖然可能五花八門、各有千秋，但早已統一為一個固定的樣式，世界各地通用，對我們的掌握和使用是十分方便的。

3

數學是一個有力的工具

數學在人們的日常生活及生産中随時随地發揮着重要的作用，已經是有目共睹。在現代，數學作為現代化建設的重要武器，在很多重要的領域中更起着關鍵性、甚至決定性作用。我們國家在兩彈一星研制中的出色成就，凝聚了不少優秀數學家的心血，就是一個突出的例子。

4

數學是一個共同的基礎

現在，不僅在自然科學、技術科學中，而且在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會科學中，為了準确和定量地考慮問題，得到有充分根據的規律性認識，數學都成了必備的重要基礎。

離開了數學的支撐，有關的科學已很難取得長足的進步，很多學科 （特别是很多自然科學學科） 近年來甚至已經出現了數學化的趨勢。

5

數學是一門重要的科學

數學忽略了物質的具體形态和屬性，純粹從數量關系和空間形式的角度來研究現實世界，它和哲學類似，具有超越具體學科、普遍适用的特征，對所有的學科都有指導性的意義。現在的數學科學已構成包括純粹數學及應用數學内含的衆多分支學科和許多新興交叉學科的龐大的科學體系。

大家千萬不要認為，我們已經學過的數學、包括已經了解的數學，就是數學的全部。其實，中學裡學習的數學，大體上屬于初等數學的範疇，而大學本科所學的高等數學，是以牛頓、萊布尼茨在十七世紀創立的微積分為标志和起步的，到現在也已經有三百多年的曆史了。

數學遠比我們已經看到的要豐富多彩，說數學的内涵博大精深，是一點也不過分的。但是，數學愈發展，不是使事情變得愈來愈複雜，相反，處理問題會變得更簡單，人們認識世界與改造世界的能力也愈來愈擴大，這會使我們愈學愈感到數學的魅力，愈學愈想學。

過去小學六年級的算術課，“雞兔同籠”是一個頂級的難題，說是将一些雞和兔放在一個籠子裡，例如說，已知頭數＝10，足數＝28，問雞多少隻？兔多少隻？由于雞隻有兩隻腳，而兔有四隻腳，問題就複雜了，而且算術課的要求是要一步寫出答案來，那就難上加難。

但到中學學了代數，隻要設雞為 x 隻，兔為 y 隻，根據題意列出一個二元一次聯立方程式，一下子就可求得問題的解答，這是多麼容易啊！

中學裡學的平面幾何，為了證明，要挖空心思畫輔助線，實在是對智力的一個重大挑戰與考驗，但學習了解析幾何，将代數與幾何結合起來，過去絞盡腦汁才能求解的幾何問題就一下子變得輕而易舉了。

我在高中時，對如何用數學方法求半圓的重心這個問題曾經發生了興趣，也為此花了不少的課餘時間，結果是無功而返。後來聽老師說這個問題隻有用微積分才能解決，才知道世界上還有微積分這樣一門威力無窮的學問，也更激發了我進一步學習數學的好奇心和動力。

真正好的數學，是愈來愈深入、愈來愈簡明、愈來愈有用的。

6

數學是一門關鍵的技術

過去一支筆、一張紙就能搞定的數學，竟然可以成為一門技術，似乎是匪夷所思。但是，數學的思想和方法與高度發展的計算技術的結合的确已經形成了技術，而且是一種關鍵性的、可實現的技術，稱為“數學技術”。在這種技術中起核心作用的部分是數學，拿走它就隻剩下一堆廢銅爛鐵。

我們在醫院裡看到的 CT 這一先進的技術就是一個突出的例子。它的本質，是利用 X 光從各個不同角度所拍攝的衆多平面照片，恢複出體内物體 （如腫瘤） 的立體形狀，這完全是一個數學問題。這樣，數學的内涵物化為計算機的軟件及硬件，就成為技術的一個重要組成部分與關鍵，從而可以直接地轉化為生産力。

現在，“高技術本質上是一種數學技術”的說法已為愈來愈多的人們所認同。

7

數學是一種先進的文化

數學是人類文明的重要基礎。它的産生和發展伴随着人類文明的進程，并在其中一直起着重要的推動作用，占有舉足輕重的地位。因時間關系，下面僅舉計數與進位這一個簡單的例子來加以說明。

大家知道，數學開始于數數。原始人隻能區分 1 與多，碰到 3 就覺得多了，三人為“衆”大概就是這樣來的。後來有了十進制，用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 和 0 這十個數字，再加上逢十進一 （以及一個小數點），就可以表示世界上任何一個數字。這是現在的人們從小就知道的事實，似乎是天經地義的。

然而，這卻經曆了一個漫長的曆史進程，是數學給人類文明帶來的一個不可磨滅的巨大貢獻。沒有了它，稍微大一些的數字就會使人暈頭轉向，更談不上龐大的天文數字或是極其微小的數字了，現今金融行業或科學試驗中種種複雜或高精度的數學運算根本不可能進行，我們還能有如此高度發達的文明社會嗎？

這樣的例子還可以舉出很多，但就從這個例子已足以看出： 數學過去是、現在是、将來也将是一種先進的文化，它帶領着、推動着、影響着人類的文明進程，深刻地改變着世界的面貌，也改變着人類本身的思維能力和認識水平，改變着人類的本身。

人類充分享受着數學文化的恩惠，但往往渾然不覺、習以為常，“身在福中不知福”。 古人說： “天不生仲尼，萬古長如夜。” 大家想一想，如果沒有數學，沒有數學的進步，人們可能還生活在愚昧之中，過着“長如夜”的生活，我們有什麼理由不重視數學、不重視數學文化的引領和薰陶作用呢？

綜上所述，長期以來，在人們認識世界和改造世界的過程中，數學作為一種精确的語言和一個有力的工具，一直發揮着舉足輕重的作用。

尤其在當代，數學作為經濟建設的重要武器，作為各門科學的重要基礎，作為人類文明的重要支柱，在很多領域中已起着關鍵性、甚至決定性作用，數學技術已成為高技術的突出标志和不可或缺的組成部分，數學的影響和作用可以說是無處不在，其重要性也已為越來越多的人所認同。

這樣，不僅在中、小學，而且在大學的很多系科中，數學都位列最重要的必修課程，就是理所當然的事了。

數學教育看起來隻是一種知識教育

但本質上是一種素質教育

02

另一方面，要搞清為什麼要學習好數學，還要認識學好數學對一個人培養與成長的重要作用。

數學既然這麼重要，那麼，學習數學的目的就僅僅在于得到一大堆定理、公式和結論，懂得各種各樣的數學方法和手段，會得求解各種各樣的習題甚至難題嗎？否！！！

如果将數學的學習僅僅看成是接受一大堆數學知識，那麼即使熟記了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發揮作用。如果将數學學習的好壞僅僅理解為“刷題”的數量和速度，那充其量也隻能成為一名熟練的數學工匠。

數學是一門重思考與理解、重嚴格的訓練、充滿創造性的科學，隻有掌握了數學的思想方法和精神實質，才能由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。 我們許多在實際工作中成功地應用了數學、取得相當突出成績的校友都有這樣的體會：

在工作中真正需要用到的具體數學分支學科，具體的數學定理、公式和結論，其實并不一定很多；學校裡學過的一大堆數學知識很多都似乎沒有派上什麼用處，有的甚至可能已經忘記，但他們所受的數學訓練，所領會的數學思想和精神，所獲得的數學教養，卻無時無刻不在發揮着積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。

我認為，這是很值得引起大家重視的經驗之談。實際上，通過認真的數學學習和嚴格的數學訓練，可以使學生具備一些特有的素質和能力。

這些素質和能力是其他課程的學習和其他方面的實踐所無法替代或難以達到的，而且，即使所學的數學知識已經淡忘 （這是經常發生的情況），這些素質及能力作為一個人的數學教養仍不會消失，将伴随終生，始終發揮積極的作用。這些素質和能力例如有：

● 自覺的數量觀念。使人會認真注意事物的數量方面及其變化規律，而不是 “胸中無數”，憑感覺、“拍腦袋”做決定、辦事情。

● 嚴密的邏輯思維能力。使人能保持思路清晰，條理分明，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作。

● 高度的抽象思維能力。使人面對錯綜複雜的現象，能分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本質，按部就班地、有效地解決問題，而不會無所适從、一籌莫展，或是眉毛、胡子一把抓。

● 數學上的推導要求每一個正負号、每一個小數點都不能含糊敷衍，有助于培養 認真細緻、一絲不苟的作風和習慣。

● 數學上追求的是最有用（廣泛）的結論、最少的條件（代價）以及最簡明的證明，通過嚴格的數學訓練，會逐步形成 精益求精、力求盡善盡美的習慣和風格。

● 關注數學的來龍去脈，知道數學概念、方法和理論的産生和發展的淵源和過程，會提高 建立數學模型、運用數學知識處理現實世界中各種複雜問題的意識、信念和能力。

● 作為一種思想的體操和競賽，數學會使人增強 拼搏精神和應變能力，通過不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終解決問題。

● 數學的學習和思考，會為學生打開自由創造的廣闊天地，激發他們的探索精神、創新意識及創新能力，使他們更加靈活和主動，聰明才智得到充分的表現和發揮，等等。

由此可見，數學教育看起來隻是一種知識教育，但本質上是一種素質教育。

這種素質教育不是從外界強加進來的，而是數學教育本身所固有的。以傳授與學習數學知識為載體，通過嚴格認真的數學學習和訓練，就可以由不自覺到自覺地将上述這些方面的素質和能力，耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習慣，逐步變成自己的數學教養。

真正學好了數學，不管你将來從事哪行哪業，都會讓人變得更聰明，更有智慧，更有競争力，終生受用不盡。對我們廣大的學生來說，也将是他們将來最值得回憶的、數學學習給他們帶來最大恩惠的地方。

當然，如果不學習數學，或者僅馬馬虎虎、敷衍了事地學了一些數學，是不能達到這一效果的，這無疑是“入寶山而空回”了。

上面所說的這些，原則上可以适用于所有的大中學生，甚至小學生，對大家當然也不例外。

但是，今天大家來到了複旦的數學科學學院，正要開始以數學為專業的系統學習，正在跨進數學科學的殿堂、成為一支數學新軍的時候，你們的任務就不應該僅僅是常規意義下的學習，而是要遨遊于博大精深而又美輪美奂的數學王國，品嘗并探索數學科學的精義和奧秘，并努力為之添磚加瓦。

同時，還要籍助于數學這一既神奇又實用的思路、工具和方法，努力揭示大自然和人類社會的種種奧秘和規律，對我們所處的這個世界有更好的了解和認知，進而為國家、為民族、為人類造福。

正因為這樣，希望複旦數學科學學院新入學的同學們，一開始就樹立起一個遠大的志向，都有一個美麗的夢想，那就是将數學作為自己畢生的事業，立志将自己培養和造就為一個未來的數學家，為數學的發展與進步、為人類社會的發展與進步做出自己的建樹和貢獻，也為複旦的數學進一步增光添彩。

這是一個崇高而遠大的志向，但不是一個不可達到的目标。

我們高興地看到，今年入學的本科新生 121 人中絕大部分都是以第一志願錄取的。

自覺地選取數學為自己的志願，說明大家對數學的熱愛和追求。立志成為一個數學家，在複旦這一百年名校的培育和熏陶下，接過蘇步青教授、谷超豪教授這些老一輩數學家手中的接力棒，繼承和發揚複旦數學科學學院這一培養優秀數學家搖籃的優良傳統，應該是不少同學内心的自覺追求，還是值得給以充分的鼓勵和支持的。

還可能有相當一部分同學，他們雖然對數學有興趣，也深知數學的重要性，但希望先打好一個數學基礎，将來轉入到其他各行各業發揮作用。應該說這也是學習數學的一個良好的出路和動機，衆多有着良好數學基礎和修養的畢業生進入各行各業，不僅會從根本上改變這些行業的面貌，而且對數學發展本身也提供了良好的外部環境和帶來極大的推動，同樣是值得鼓勵和支持的。

但是，盡管将來要進入各行各業，你們和其他人相比的優勢不在别的地方，而在你們數學上的積澱；你們将來在新的環境中能不能脫穎而出，靠的也隻能是你們在數學上的優勢，而不是其他！

你們将來的着力點，應該是在數學與其他學科交叉與融合的結合部上，這就是現在人們大力提倡的工業與應用數學。你們的奮鬥目标同樣應該是成為一個數學家，而且是一個真正意義上的工業與應用數學家。

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