凸函數是在數學中經常出現的概念，它在極為寬廣的數學以及相關領域内發揮了巨大的作用。凸函數的定義非常簡潔直觀，但僅僅做了這樣一個“小小”的要求後，我們往往會發現之後的事情會變得非常不一樣，有些時候可謂“化腐朽為神奇”。那麼，凸函數到底有什麼神奇的力量呢？

首先我們從凸函數的定義說起。一般而言，歐式空間Rⁿ上的凸函數f(x)如下定義：

為了下文讨論的方便，我們所說的凸函數一般都是定義在Rⁿ上的。

關于凸函數的定義我們必須要多說幾句。對凸函數比較熟悉的同學可能常常會疑惑，為什麼不同的地方對凸函數的定義和稱呼不一樣？有時候不僅定義有差别，甚至有時候連名稱都不一樣。目前學界對凸函數的定義和稱呼沒有同一的規定，有時候我們稱凸函數為“上凸”，但有的時候會發現“上凸”指的是“凹”，但有的時候又指的是“凸”，所以在不同的文獻中要仔細識别“凸”的含義。相對于凸函數，我們還有凹函數的概念，一個函數f(x)被稱為凹函數如果-f(x)是凸函數。

這裡我們給出的凸函數是定義在n維實數空間上的，實際上，凸函數可以定義在Rⁿ的任何凸子集上，而凸子集的定義與凸函數類似，指的就是那些任意兩點連線都在自身裡的集合。更一般的，凸函數可以定義在向量空間上，例如泛函分析中的巴拿赫空間，這種向量空間甚至可以是無限維的。我們都知道，凸函數具有強烈的幾何直觀意義，也就是說，它的圖像圍成的區域是個凸集。

接下來我們就來看看凸函數的一些良好性質，借此我們就可以看出凸函數為什麼在數學中如此重要。

首先我們注意到，在凸函數的一般定義中，我們沒有要求函數的連續性，更沒有要求可導性。但令人吃驚的是，連續性是Rⁿ中凸函數的内在性質！也就是說：

Rⁿ中的凸函數f(x)一定是連續的！更一般的，f(x)是局部利普希茨連續的。

不過很可惜的是，這樣美妙的性質對于無限維空間而言是不正确的。

應該說，我們都習慣于接受可以求導，尤其是二次求導的凸函數，因為這樣我們可以直接利用函數的二階導數（高維情形是Hessian矩陣）來判斷它的凹凸性，也就是說，可以利用凸函數的定義證明：

但在一般定義中，我們沒有要求函數的可導可微性，因為實際上，可導可微性是非常強的數學性質，數學中很多函數沒有這樣良好的性質，很多凸函數也是如此。而對于數學家而言，我們必須要“化腐朽為神奇”，因而還是找到了辦法來解決這些困難。這裡我們要特别提到兩個重要結論：

定理1(Rademacher):Rⁿ中的局部利普希茨函數是幾乎處處可微的。

定理2(Aleksandrov):Rⁿ中的凸函數幾乎處處二階可微。

這兩個結論都涉及到了一點測度論的概念，這裡我們要簡單解釋一下“幾乎處處(almost everywhere)”的含義，它指的就是除去一個零測集外相應的性質成立。其中第二個定理尤其重要，它使得我們可以處理那些沒有天然可微性的凸函數，因為在很多情況下，特别是要求積分的時候，“幾乎處處成立”和“處處成立”沒有本質上的區别。這裡一個典型的例子是關于凸集的距離函數d(x),可以證明它是一個凸函數，因而是幾乎處處二次可微的，而距離函數的可微性就允許我們進行一系列操作，例如研究它的水平集(曲面)的相關性質。可以說，這個結論為凸函數的研究帶來了本質上的推進。

從這些結論我們可以看到，“凸性”這一簡單直觀的要求實際上是非常好的限制條件，它使得凸函數有了非常好的性質。上面我們看到的都是凸函數的局部性質，那麼它有沒有整體上的良好性質呢？答案是肯定的。

定義在實數或區間上的凸函數的圖像是很好想象的，或許接觸過它的人都發現了如果這種凸函數如果有“拐點”的話，那麼似乎在整個定義域上都隻有這一個拐點。實際上，我們可以嚴格證明：

凸函數的局部極值(如果存在)一定是整體極值。特别的，如果函數嚴格凸，這樣的極值(如果存在)一定是最大值且最大值點唯一。

這種性質有很直接的幾何解釋，比如凸曲線，在它的可微點做一條切線，那麼曲線将全部位于切線的一邊而不會穿過切線，對于凸曲面亦是如此。

相信學習過優化理論的同學對這條性質都倍感親切，對它的重要性也很了解。事實上，從研究凸性質出發，發展出了非常重要的凸分析理論，把這套理論用到優化等理論中去，又形成了凸優化這門學科。可以說，凸分析的理論把凸函數和凸集的性質運用到了極緻，而我們研究凸函數的原因正在于它“簡單”而不是因為它“複雜”，就拿極值性質為例，找到一個複雜函數的最值往往是不容易的，但局部極值總是容易求得的，如果我們能夠将研究某函數通過一些合理操作轉化為研究一個凸函數的問題，那麼問題的難度将會大大降低，實際上這正是凸優化理論的基本思想。

以上我們介紹了一些凸函數最基本的性質，它們隻是所有優良性質中的冰山一角而已，而且為了簡便，我們還沒有特别介紹凸集的性質。可以說，“凸”在數學中是一個非常大而且重要的概念，除了一般的凸函數和凸集的定義外，為了适應其他需要，還有一緻凸，拟凸，全凸等等不同的凸性。除數學自身外，凸函數和凸集在經濟學，博弈論，優化理論，運籌學等等學科中都發揮了廣泛而重要的作用，而凸分析本身也是當今非常活躍的數學分支。

為什麼凸函數如此重要呢？我想答案不言自明，它不僅性質優良，而且具有極大的應用價值，是數學中理論結合實際運用的絕佳典範。或許在今後的相關研究中，它将發揮更加重要的作用。

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