這對數學哲學來說是一個根本的問題，它背後的大題目就是：數學究竟是發明還是發現？

先看下面的兩個截圖。

我們不讨論這個知名的哲學問題，隻看複數。潘建偉團隊已經成功表明：複數至少對于量子力學來說是真實的。注意，關鍵點不在于所謂測量到了波函數的實部和虛部，而是——當我們因無解時而創造出的相關的代數和分析理論，當它們能夠成功地被量子力學應用且後者能夠被實驗支持時，我們發現：初衷不是為了科學目地的數學理論居然無可比拟的好使！

喔，這真的很神奇！

數學理論肯定不都是為了物理而生：選擇公理導緻的分球悖論就讓人們對它極端恐懼；無窮大理論也沒有自然實在的對應；代數幾何的概形、橢圓曲線的模性模式都是不是為了研究自然定律而生的。

即便是對于量子力學，在這之前我們也是隻是以為，複數的理論好用，而且量子力學被實驗支持，那麼就用就完了，要是不好使了就再尋找一個理論替代它。你以為複數沒有再推廣嗎？不，它推廣了兩次！四元數和八元數。

威廉·羅恩·哈密頓這位英國最大偉大的數學、物理學大師之一，花了很多年終于意識到如果舍棄乘法的交換律，那麼他心愛的四元數就可以完成了。他興奮地把這個想法刻在了橋邊的石台上。再後來，八元數繼承了四元數的衣缽，成為旋量的表述。這時有人開始思考十六元數，然而，這東西已經不可能了，為什麼？看下圖。

曹澤賢教授在國科大的PPT講義

沒有交換律的數學内容太多了，矩陣的乘法，張量的乘法；沒有結合律的雖然不常見的，但也不是沒有，減法就不符合結合律，向量的混合積也不符合結合律。但是結合律其實是非常重要的，群的公理就要求必須滿足結合律。當交換結合都不滿足時，再往下構造可能連運算封閉都舍棄了，那就真是糟糕了，因為一旦運算不封閉，很多東西都不确定了，比如無理數的四則運算，例如，我們悲哀地連是不是無理數都不知道。

因此八元數已經到頭了。而且它對應旋量，也是在為量子力學服務，保不齊，複數的真實性也能連帶為八元數的實在提供支持，當然這都是後話了。

複數的誕生是按照高斯的理念來的，他說：“如果它不再有意義時，我們應該問如何做出假設使它繼續有意義。”這指的就是虛數的真實性問題。為此我們做出了犧牲和選擇：複數集是實數集的推廣，但是是代數性質的推廣，而不是全性質的推廣。複數作為“域”舍棄了實數的全序性質(任意兩個數能夠比較大小)——雖然我們可以給複數集定義全序，但是我們定義的任何全序都與複數作為一個代數結構——“域”的性質矛盾。從實用來講，我們更看重的是複數的代數性質而不是序性質，所以我們認可了這種舍棄！

這種舍棄換來的就是上面潘建偉教授團隊對于複數真實性的證明。

其實，實數的代數性質是日常生活的總結與概括，它足夠完備，足夠好用，與我們非科技工作的日常生活無關。隻要你不與科技打交道，僅有理數的四則運算足夠伴你一生。複數的代數性質完全繼承了實數，在發明複數時，我們隻是不知道是否有這麼一個物理領域或者自然實在必須要用複數來表示，然而，無論有沒有，都不會阻止數學家推廣實數的腳步，為什麼？

因為無解的問題就在那裡。

如今，隻是我們很幸運地知道了這個問題的答案——至少對于量子力學來說，複數是必不可少的。

最後，确實存在一個不是八元數的常見的數學對象，它不滿足交換律和結合律，你知道它嗎？

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