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微積分所有定律

生活更新时间:2024-11-20 15:36:25

這是《機器學習中的數學基礎》系列的第9篇，也是微積分的第2篇。

今天我們來介紹導數，不過在此之前，還是來看看标題中的問題：瞬時速度到底是個怎樣的存在？

假設有一輛汽車從A點出發到B點停下，那麼我們可以畫出這段時間内汽車速度變化的圖像：

微積分所有定律（微積分中的悖論）1

如圖，橫軸是時間t，縱軸是速度v，我們現在想知道t’時刻的瞬時速度是多少呢？

從微積分上來說，“瞬時速度”這個概念是沒有意義的。假如我給你拍一張某時刻汽車的照片，你能告訴我此時汽車的速度是多少嗎？在沒有任何參照物的情況下，是不可能知道的。但是，我們又可以把速度與時間的圖像畫出來，好像又可以知道某時刻的瞬時速度。這到底是咋回事呢？

我們還是從速度的定義上出發，速度=距離/時間。我們所說的速度，永遠是某個時間段内走過的距離除以這個時間段而得到。也就是說，無論這個時間段多麼小，得到的永遠是這個時間段内的“平均速度”。那汽車儀表盤上顯示的速度是什麼呢？我們來畫個圖表示下：

微積分所有定律（微積分中的悖論）2

上圖畫的是汽車從A點到B點的行駛距離s與時間t的圖像。如果我們想求t'點的速度，我們實際是怎麼做的呢？我們先在t'的右邊找到一個很小的時間段△t，汽車在這段時間内行駛的距離是△s，我們就把t'的速度v近似為平均速度△s/△t。當△t足夠小時（趨于0時），可以認為t'的瞬時速度v就是△s/△t。其中，△s=s(t' △t)-s(t')。因此，我們可以表示為：

微積分所有定律（微積分中的悖論）3

我們就把（1）式叫做s在t'處的導數，其中△t→0。

既然知道了定義，就來實戰一下吧。假設我們有一個函數f(x)=x²，如何求該函數上任意一點的導數呢？根據定義，我們有

微積分所有定律（微積分中的悖論）4

展開，可得

微積分所有定律（微積分中的悖論）5

上下約分，就得到

微積分所有定律（微積分中的悖論）6

當△x→0時，f'(x)=2x。因此，f(x)=x²的導數就是2x。

更一般地，我們有

微積分所有定律（微積分中的悖論）7

好了，這就是今天的全部内容。歡迎留言讨論。

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