數學是一門理科，有需要記憶的基礎知識點，但是不是死記硬背，而是需要在充分理解知識點的基礎上自然而然地就記住了。死記硬背不但浪費時間，而且容易遺忘和混淆，運用起來更是費力；相反地，充分理解了知識點後，其實不需要花時間刻意去背，順水推舟就記住了，而且根深蒂固難以忘記，運用起來也得心應手。一個是費力不讨好，一個是事半功倍，大家更喜歡哪一個應該不言而喻了吧？

應一些同學的要求，複習一下高考數學的基礎知識點，不妨從最簡單的集合開始，再次強調，重在充分理解。

1、定義無需多說，集合是指定對象的總體，集合的元素就是集合這個總體中的每個對象。

注意反對死記硬背不是喊你什麼都不背，常用集合的符号記法必須記住。

2、元素與集合的關系隻有兩種：①元素屬于集合，②元素不屬于集合。注意元素與集合的關系是單向的，一定不要說成集合屬于或不屬于元素了。

3、以集合中的元素個數為分類标準，集合分為有限集、無限集、空集。注意不含任何元素的集合為空集，即元素個數為零的集合為空集。

4、關于集合中元素的3個特性，确定性、互異性、無序性，其中确定性、無序性理解了即可，特别注意互異性，集合中的所有元素互不相同，高考中一般會以含參數的數集形式來考：

考查方式①：兩個含參數的式子，屬于給出的數集，數集的元素數字是全部确定的，求參數。

考查方式②：給出的一個、或兩個數字，屬于給出的數集，數集中有兩個或以上元素含參數，求參數。

這兩類都需要先分類讨論解出參數，然後一定要記得檢驗集合中元素的互異性，即互不相等，舍去出現元素相等的參數值。

5、集合的表示法一方面主要是用來規範書寫的格式，對于求參數的取值範圍、解不等式、函數的定義域和值域等，最後的結果一定要寫成集合或區間的形式。

另一方面要能明白集合中元素表示的意義，這樣才能抓住集合的本質，否則解題時就會出錯，甚至于毫無頭緒。

比如偶數集、奇數集元素變形一下就有不同的表示形式，但是隻要明白集合中元素表示的意義是偶數、奇數，就清楚不管它們怎樣變形，它們的本質始終偶數集、奇數集。再比如除以3餘1的整數集、或者除以4餘1的整數集，也都有不同的元素表示形式，變形立知其本質一樣。像實數集同樣可以換着不同的花樣表示。

變化的是形式，不變的是本質。

大家再理解一下下面這些集合中元素表示的意義。

①表示方程f(x)=0的解集。

②表示三元不定方程3x 4y 12z=2020的非負整數解集。

③表示二元方程組f(x，y)=0且g(x，y)=0的解集。

④表示二元不定方程1/x 1/y=3/100的非負整數解集。

⑤表示不等式f(x)≥0的解集。

⑥表示抛物線y²=2px及其上方(y軸正方向)區域。

⑦需要分類讨論：

情況一、當m＜0時，表示圓心(2,0)，半徑∣m∣的圓面；

情況二、當m=0時，表示點(2,0)為元素的集合；

情況三、當0＜m＜1/2時，表示空集；

情況四、當m=1/2時，表示圓心(2,0)，半徑1/2的圓；

情況五、當m＞1/2時，表示圓心(2,0)，半徑√(2m)/2、m之間的圓環。

⑧表示橢圓x²/a² y²/b²=1及其内部區域。

⑨表示函數y=f(x)的定義域。

⑩表示函數y=f(x)的值域。

⑪表示函數y=f(x)與y=g(x)的圖像的交點集。

(一)集合間的關系

有子集(包含于、包含)、真子集(真包含于、真包含)、相等。隻需用3句話簡單理解一下即可：

1、集合A是B的子集：A的元素全在B中。

2、集合A是B的真子集：A的元素全在B中，且B中含A的元素之外的元素。

3、集合A等于B：A、B的元素全都相同。

另外，注意記住一點特殊規定，即空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

(二)補充講解

不要死記硬背，注意理解、掌握研究問題的方法。

含n個元素的集合，有2^n個子集，2^n-1個真子集，2^n-1個非空子集，2^n-2個非空真子集。

首先，計算子集的個數。

方法一、分步計數乘法原理：

對于這n個元素，每個元素都有屬于子集、不屬于子集兩種情況，依次每步确定這n個元素的其中一個元素是否屬于子集，根據分步計數乘法原理，于是子集的情況有2^n種，即它有2^n個子集。

方法二、分類計數加法原理 二項式定理：

含n個元素的集合它的子集的元素的個數有0、1、2、…、n這n 1類情況。

子集的元素的個數為0的子集個數：從n個元素中取0個元素，即不取，子集個數組合數Cn0。

子集的元素的個數為1的子集個數：從n個元素中取1個元素，子集個數組合數Cn1。

子集的元素的個數為k的子集個數：從n個元素中取k個元素，子集個數組合數Cnk。

根據分類計數加法原理，子集的元素的個數為0、1、2、…、n這n 1類情況的每一類情況子集個數相加，再由二項式定理，即得有2^n個子集。

然後，計算真子集、非空子集、非空真子集的個數。

排除法：

上面已經求得子集個數，對于真子集，子集排除含n個元素的子集(等于原集合)；對于非空子集，子集排除空集；對于非空真子集，排除上述兩個。

(一)集合的交、并、補運算及其性質的理解

交、并、補運算也隻需3句話簡單理解即可。

1、交集取共同部分。

2、并集為全部，合并消重。

3、補集為全集排除參與運算的子集剩下的部分。

對于集合的運算性質，全部理解了即可，注意一下摩根律(有時候可以使運算簡潔)，和後面補充的交集、并集的兩個簡單性質(也不需要即，理解即可，主要在求參數的時候用到)。

對于集合的簡單運算性質的理解(一個也不需要記)：

①A、B的交集是A的子集，也是B的子集：交集取共同部分，A、B的共同部分當然就既包含于A，也包含于B了。

②A交A等于A：共同部分就是它們本身。A交空等于空：沒有共同部分。

③A交B等于B交A：多個集合相交也一樣，共同部分始終一樣，交換順序無影響。

④A、B是A、B的并集的子集：A、B的并集是A、B的全部合并消重，當然包含A、B了。

⑤A并A等于A：它們的全部就是它們本身。A并不等于A：它們的全部就是A了。

⑥全集中一個集合的補集的補集是它本身：全集中一個集合的補集，即全集排除這個集合剩下的部分，再全集來排除這部分，這不就排除回去了，轉個圈回到起點。

⑦全集中全集的補集為空集：全部排除完，當然就是空集了。

⑧一個集合與全集中它的補集的交集是空集：全集排除這個集合剩下的部分，再交這個集合，當然就沒共同部分了。

⑨一個集合與全集中它的補集的并集是全集：全集排除這個集合剩下的部分，再與這個集合合并，把排除掉的再并回來，它們的全部當然又變回全集了，轉個圈回到起點。

常用的兩個性質：

A交B等于A，等價于A是B的子集。

A、B的共同部分是A，不言而喻。

A并B等于A，等價于B是A的子集。

A、B的全部是A，同樣不言而喻。

這兩個性質主要在求參數的時候用到，當然也不需要記，理解了遇到相應的題自然就能運用。

(二)補充講解：

注意一下摩根律，有時候能夠使得運算簡潔一些。

1、交集的補集=補集的并集：

全集U中A、B的交集的補集，即全集U排除A、B的共同部分所剩下的部分。

全集U中A的補集，即全集U排除A剩下的部分，相對于排除A、B的共同部分，多排除了A、B的共同部分之外的A中的部分，但是注意并沒有排除A、B的共同部分之外的B中的部分。

全集U中B的補集，即全集U排除B剩下的部分，相對于排除A、B的共同部分，多排除了A、B的共同部分之外的B中的部分，但是注意并沒有排除A、B的共同部分之外的A中的部分。

于是，補集的并集就剛好把多排除的部分相互“互補”回來。

2、并集的補集=補集的交集：

全集U中A、B的并集的補集，即全集U排除A、B的全部所剩下的部分。

全集U中A的補集，即全集U排除A剩下的部分，相對于排除A、B的全部，少排除了B中有、A中沒有的部分。

全集U中B的補集，即全集U排除B剩下的部分，相對于排除A、B的全部，少排除了A中有、B中沒有的部分。

于是，補集的交集就剛好把少排除的部分，即B中有、A中沒有的部分，和A中有、B中沒有的部分，再排除掉。

(三)補充講解二：

容斥原理，集合的元素個數的關系。

A、B并集的元素個數=A的元素個數 B的元素個數-A、B交集的元素個數

本質就是合并消重，A、B并集即A、B的全部合并消重，消重消的就是A、B的共同部分(交集)。A的元素個數 B的元素個數，就多加了一次共同部分的元素個數，減去即可。

如下的一道高考真題，和一道上海交通大學的自主招生試題，都是非常經典的好題。

他們都隻是以集合作為外殼，核心是其它闆塊知識點、方法和中學基本數學思想的綜合運用。當然大家首先需要一眼就明白集合所表示的意義是什麼。

集合的知識點大多數隻需要充分理解一遍就足夠了，上面基本上已經為大家詳解地複習理解了一遍，一些注意點一定不要忽略，那常常是高考試題中可能出現的坑。

當然絕大多數次高考，集合隻是放在第1或第2題，作為最簡單的送分題(江蘇附加題最後一題除外)，稍微拐點忽略不計的彎的也就加進參數來考，隻要你不忽略需要注意的特殊點，同樣不可能出錯，高考集合送分題必然秒殺萬無一失。

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