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數學上沒有無窮小的概念

生活更新时间:2024-07-18 01:29:11

數學上沒有無窮小的概念（為什麼無窮個無窮小之積不一定是無窮小）1

19世紀70年代，德國數學家維爾斯特拉斯嚴格定義極限概念後，無窮小也有了準确的定義，并一直沿用至今。現在我們的數學分析或者高等數學課本中，無窮小的定義為：

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我們單純從無窮小的定義來看，有兩點需要特别注意：

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由無窮小的定義可以推出，關于“有限個無窮小的和差積運算”與“無窮個無窮小的和差積運算”的 4 個性質：

數學上沒有無窮小的概念（為什麼無窮個無窮小之積不一定是無窮小）4

上面這段話直觀理解看上去似乎有道理，但我們不能僅僅停留在直觀理解上。對于數學而言，需要嚴格證明，這恰恰是數學的魅力所在。

有限個無窮小之和仍是無窮小

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有限個無窮小之積仍是無窮小

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無窮個無窮小之積不一定是無窮小

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即，無窮多個無窮小的乘積不一定是無窮小。

現實中，我們之所以無法直觀理解“無窮多個無窮小的乘積（和）不一定是無窮小”這個結論，主要原因在于：

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有限與無窮的區别

從一到無窮不僅是量的變化，更重要的是質變。從某種意義上講，無窮是經典數學與現代數學的一個分水嶺。

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