圓中有關計算

1.能通過把一個圓n(n≥3)等分，得到圓的内接正n邊形及外切正n邊形；

2.理解正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距的概念，并能進行簡單的計算；

3.掌握弧長和扇形面積的計算公式，能計算由簡單平面圖形組合的圖形的面積．

1. 正多邊形和圓的中心、正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系.弧長和扇形面積公式，準确計算出弧長和扇形的面積；

2. 正多邊形與圓的關系及正多邊形的性質、會利用圓錐的側面展開圖，計算圓錐的側面積和全面積.

要點集結

正多邊形

1.正多邊形的有關概念

（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如：正六邊形，表示六條邊都相等，六個角也相等.

（2）正多邊形的中心:正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

（3）正多邊形的半徑:正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑.

（4）正多邊形的邊心距:正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距.

（5）中心角:正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角.

2.正多邊形的對稱性

（1）正多邊形的軸對稱性：正多邊形都是軸對稱圖形.一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；

（2）正多邊形的中心對稱性：邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心.

3.正多邊形的有關計算

（1）正n邊形的内角和為（n-2）×180°

（2）正n邊形的每個内角都等于，中心角等于

（3）正n邊形的外角和為360°，每個外角等于

《典例1》.下列說法正确的是（ ）

A.平行四邊形是正四邊形 B.矩形是正四邊形

C.菱形是正四邊形 D.正方形是正四邊形

【答案】D

【精準分析】各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.平行四邊形各邊各角都不定相等，所以不是正四邊形；矩形各角相等，但是各邊不一定相等，所以也不是；菱形各邊相等，而各角不一定相等，所以菱形不是正四邊形；正方形各邊各角都相等，所以是正四邊形.

故選D.

練習1.下列命題中正确的是①矩形是正多邊形；②邊數相等的正多邊形旋轉角相同；③正多邊形的邊相等；④正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.（ ）

A. ①③④ B. ②④ C. ②③ D. ①②③④

【答案】C

【精準分析】各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.矩形各角相等，但是各邊不一定相等，所以不是，故①錯誤；④正偶邊形是中心對稱圖形,正奇邊形不是中心對稱圖形，故④是錯誤的.②③是正确的.故選C

練習2.已知一個正多邊形的一個内角是120°，這個正多邊形是正幾邊形？

【答案】六

【精準分析】根據正多邊形的每個内角是120度，則每個外角是60度，360÷60=6,所以是六邊形.

根據正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.去判斷是否是正多邊形以及是正幾邊形.

《典例1》.正五邊形有（ ）條對稱軸.

【答案】5

【精準分析】根據正多邊形的邊數決定對稱軸的條數.

練習1.一個正多邊形有8條對稱軸，那麼它是正（ ）邊形.

【答案】八

【解析】根據對稱軸的條數=正多邊形的邊數.

正多邊形的邊數與正多邊形對稱軸的條數是相等的；判斷是否是中心對稱圖形，需要看正多邊形的邊的條數：偶數條，是中心對稱圖形；奇數條，則不是中心對稱圖形.

《典例1》.中心角是45°的正多邊形的邊數是__________.

【答案】8

【精準分析】因為正n邊形的中心角為，所以45°=，所以n=8

練習1.若正n邊形的一個外角是一個内角的時，此時該正n邊形有_________條對稱軸.

【答案】5

【精準分析】因為正n邊形的外角為，一個内角為，

所以由題意得=·，解這個方程得n=5.

練習2.正多邊形的一個中心角為36度,那麼這個正多邊形的一個内角等于_______度.

【答案】144

【精準分析】∵中心角是36°，∴，，180°-36°=144°.

根據正多邊形中心角的度數=正多邊形每個外角的度數都等于，從而去判斷是正幾邊形.

正多邊形與圓

1. 圓内接正多邊形：把一個圓分成n（n大于等于3）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的内接正多邊形.這個圓是這個正多邊形的外接圓；

2. 圓外切正多邊形：把圓分成n（n大于等于3）等份，經過各分點做圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的n邊形是這個圓的外切正n邊形.

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