複合函數與反函數初等函數?大家好，我是專升本數學學霸，這次我們繼續來讨論反函數及其求法和複合函數、函數的四個基本性質那你知道反函數及其求法和複合函數、函數的四個基本性質嗎？學霸來幫你來了，下面我們就來聊聊關于複合函數與反函數初等函數?接下來我們就一起去了解一下吧!

複合函數與反函數初等函數

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們繼續來讨論反函數及其求法和複合函數、函數的四個基本性質。那你知道反函數及其求法和複合函數、函數的四個基本性質嗎？學霸來幫你來了。

一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f-1(y) 。反函數x=f -1(y)的定義域、值域分别是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數，三角函數和反三角函數等。

怎麼求反函數呢？求反函數的方法：

①先求原函數的值域和定義域

②用y來表達x的式子。

③交換x和y的位置。

例如：求y=e^x(x∈R，y>0)的反函數。

解：定義域為一切實數 ，值域大于0,。

用y來表達有x的式子。

x=ln y 交換x和y的位置 得到： y=ln x。

所以 y=e^x(x∈R，y>0的反函數為y=ln x(x >0,y∈R)。

接下來，我們一起來讨論複合函數，讨論複合函數之前先來看看有哪些基本初等函數：

①幂函數

圖1 幂函數

②指數函數

圖2 指數函數

③對數函數

圖3 對數函數

④三角函數

圖4 三角函數

⑤反三角函數

圖4 反三角函數

以上五類統稱為基本初等函數，由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次所構成并用一個式子表示的函數，稱為初等函數。如

圖5 基本初等函數

複合函數是複合映射的一種特例，按照統稱函數的記号，複合函數的概念：

設函數 y=f(u)的定義域為D1，函數u=g(x)的定義域為D2，其值域在D1内，則由下式确定的函數：

y=f [ g ( x ) ]

稱為由函數u=g(x)與函數y=f(u)構成的複合函數，它的定義域是D2，變量u是中間變量。

例如 y=arcsin cos x，令u=cos x,則 y=arcsin cos x 有y=arcsin u和u=cos x複合而成。

我們繼續讨論函數的幾個性質：函數的有界性、函數的周期性、函數的奇偶性、函數的單調性、函數的對稱性。

①函數的有界性

若存在兩個常數m和n，使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤n,x∈D 。 則稱函數y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，Mn是它的上界。

設函數f(x) 在數集 A上有定義，如果存在常數M＞0 ，使得對任意x∈A ，有

則稱函數f(x) 在數集A上有界，否則稱為無界。

例如y=sin x 是有界函數，上界為1， 下界為-1.y=x是無界函數。

②函數的周期性

設函數 f(x)的定義域為D，如果存在一個正數 l ,使得對于任一x∈D有（x ± l）∈D，且 f(x l)=f(x) 恒成立，那麼稱f(x)為周期函數，通常我們所說的周期函數的周期是最小正周期。例如：sin x，cos x都是以 2π 為周期的周期函數。

③函數的奇偶性

設函數 f(x)的定義域D關于原點對稱，如果對于任一 x∈D， f(-x)=f(x)恒成立，那麼稱f（x）為偶函數。 如果對于任一 x∈D， f(-x)=-f(x)恒成立，那麼稱f（x）為奇函數。 偶函數的圖像關于y軸對稱 ，奇函數的圖像關于原點對稱

例如：f(x)=x^2是偶函數，因為 f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。關于y軸對稱，

f(x)=x^3是奇函數，因為f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。關于x軸對稱。

④函數的單調性

設函數f(x)的定義域D，區間 I 是D的子集，如果對于區間I上任意兩點 x1及x2，當

x1＜x2時，恒有f（x1）＜f(x2)，那麼稱函數f（x）在區間 I 上是單調遞增；

如果對于區間I上任意兩點 x1及x2，當 x1＜x2時，恒有f（x1）＞f(x2)，那麼稱函數f（x）在區間 I 上是單調遞減。單調遞增和單調遞減統稱為單調函數。

例如：y=x^2在區間[0, ∞）上是單調遞增，在區間（-∞，0]是單調遞減；所以y=x^2在（-∞， ∞）上不是單調函數。

關于反函數及其求法和複合函數、函數的四個基本性質就到此為止，專升本考試考不到多難，隻要掌握函數這些概念，考試沒問題。下次我們讨論關于函數其他問題和極限。

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