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偏導數與導數

圖文 更新时间:2025-02-10 13:27:10

當函數有一個自變量時,比如y=f(x),是一個一元函數,在直角坐标系中表示f(x)幾何圖形就是一條線,我們求導就是求切線,目的是利用切線段代替曲線來求曲線的長度,也就是利用直線段代替曲線段做計算,為什麼呢?是因為人們隻會測量直線段的長度。

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當函數含有多個自變量時,比如z=f(x,y),是一個二元函數,在直角坐标系中表示f(x,y)幾何圖形就是一個面,那我們怎麼處理呢?人們隻能把曲面切成曲線,曲線切成直線段,進行計算。曲面切成曲線的過程就是求偏導數的過程,偏導數就是求一維曲線,目的是利用曲線段代替曲面。比如我們下圖,我們對y求偏導,就是把x看成常數,取值某點x,其結果就是沿着y軸變化的曲線,當x取值變化時,y的偏導也跟随變化,x值取所有範圍,y的偏導曲線也就組成了曲面。

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同理我們也可以用同樣的方式對x取偏導;偏導都是有方向的直線段,當我們在一點即對x取偏導,又對y取偏導時,他們有各自的方向和大小,如果我們按照矢量的運算進行求和,得出結果就是對函數對x,y,的全導數。全導數就是對所有自變量求導再取他們合力結果,也就是每個變量對函數的影響之和。

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