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必修一第四章總結

生活 更新时间:2024-12-25 02:22:37

必修一第四章總結?1.4 充分條件與必要條件,下面我們就來聊聊關于必修一第四章總結?接下來我們就一起去了解一下吧!

必修一第四章總結(必修第一冊-1.4)1

必修一第四章總結

1.4 充分條件與必要條件

1.4.1 充分條件與必要條件

1.4.2 充要條件

學 習 目 标

核 心 素 養

1.結合具體實例,理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.(重點、難點)

2.會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.(重點)

3.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明.(難點)

1.通過充要條件的判斷,提升邏輯推理素養.

2.借助充要條件的應用,培養數學運算素養.

1.充分條件與必要條件

命題真假

“若p,則q”是真命題

“若p,則q”是假命題

推出關系

pq

p

q

條件關系

pq充分條件

qp必要條件

p不是q充分條件

q不是p必要條件

思考1:(1)pq的充分條件與qp的必要條件所表示的推出關系是否相同?

(2)以下五種表述形式:①pq;②pq的充分條件;③q的充分條件是p;④qp的必要條件;⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎?

提示:(1)相同,都是pq.(2)等價.

2.充要條件

(1)一般地,如果既有pq,又有qp,就記作pq.此時,我們說,pq充分必要條件,簡稱充要條件.

概括地說,如果pq,那麼pq互為充要條件.

(2)若pq,但q

p,則稱pq的充分不必要條件.

(3)若qp,但p

q,則稱pq的必要不充分條件.

(4)若p

q,且q

p,則稱pq的既不充分也不必要條件.

思考2:(1)若pq的充要條件,則命題pq是兩個相互等價的命題,這種說法對嗎?

(2)“pq的充要條件”與“p的充要條件是q”的區别在哪裡?

提示:(1)正确.若pq的充要條件,則pq,即p等價于q.

(2)①pq的充要條件說明p是條件,q是結論.

p的充要條件是q說明q是條件,p是結論.

1.下列語句是命題的是(   )

A.梯形是四邊形   B.作直線AB

C.x是整數 D.今天會下雪嗎

A [D不是陳述句,B、C不能判斷真假.]

2.“同位角相等”是“兩直線平行”的(   )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既是充分條件,也是必要條件

D.既不充分也不必要條件

[答案] C

3.使x>3成立的一個充分條件是(   )

A.x>4 B.x>0

C.x>2 D.x<2

A [隻有x>4⇒x>3,其他選項均不可推出x>3.]

4.設xyR,則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的(  )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

A [因為x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4, x2+y2≥4

x≥2且y≥2,如x=-2,y=1,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要條件.]

充分條件、必要條件的判斷

【例1】 指出下列各題中pq的什麼條件.

(1)px-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.

(2)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形全等.

(3)pabqacbc.

[解] (1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0

x-3=0,故pq的充分不必要條件.

(2)兩個三角形相似

兩個三角形全等,但兩個三角形全等⇒兩個三角形相似,故pq的必要不充分條件.

(3)ab

acbc,且acbc

ab

pq的既不充分也不必要條件.

定義法判斷充分條件、必要條件

(1)确定誰是條件,誰是結論

(2)嘗試從條件推結論,若條件能推出結論,則條件為充分條件,否則就不是充分條件

(3)嘗試從結論推條件,若結論能推出條件,則條件為必要條件,否則就不是必要條件.

1.指出下列各組命題中,pq的什麼條件.

(1)p:四邊形的對角線相等,q:四邊形是平行四邊形.

(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.

[解] (1)因為四邊形的對角線相等

四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形

四邊形的對角線相等,

所以pq的既不充分也不必要條件.

(2)因為(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0

(x-1)2+(y-2)2=0,所以pq的充分不必要條件.

充分條件、必要條件、充要條件的應用

[探究問題]

1.記集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若pq的充分不必要條件,則集合AB的關系是什麼?若pq的必要不充分條件呢?

提示:若pq的充分不必要條件,則A

B,若pq的必要不充分條件,則B

A.

2.記集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若MN,則pq的什麼條件?若NMMN呢?

提示:若MN,則pq的充分條件,若NM,則pq的必要條件,若MN,則pq的充要條件.

【例2】 已知p:-2≤x≤10,q:1-mx≤1+m(m>0),若pq的充分不必要條件,則實數m的取值範圍為________.

[思路點撥] →→

{m|m≥9} [因為pq的充分不必要條件,所以pqq

p.

即{x|-2≤x≤10}是{x|1-mx≤1+mm>0}的真子集,所以或解得m≥9.

所以實數m的取值範圍為{m|m≥9}.]

1.本例中“pq的充分不必要條件”改為“pq的必要不充分條件”,其他條件不變,試求m的取值範圍.

[解] 因為pq的必要不充分條件,所以qp,且p

q.

則{x|1-mx≤1+mm>0}

{x|-2≤x≤10},

所以,解得0<m≤3.

m的取值範圍是{m|0<m≤3}.

2.若本例題改為:已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“xP”是“xQ”的必要條件,求實數a的取值範圍.

[解] 因為“xP”是“xQ”的必要條件,所以QP.

所以解得-1≤a≤5,

a的取值範圍是{a|-1≤a≤5}.

利用充分、必要、充要條件的關系求參數範圍

(1)化簡pq兩命題;

(2)根據pq的關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間的關系;

(3)利用集合間的關系建立不等式;

(4)求解參數範圍.

充要條件的探求與證明

【例3】 試證:一元二次方程ax2+bxc=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.

[思路點撥] 從“充分性”和“必要性”兩個方面來證明.

[證明] ①必要性:因為方程ax2+bxc=0有一正根和一負根,所以Δb2-4ac>0,x1x2=<0(x1,x2為方程的兩根),所以ac<0.

②充分性:由ac<0可推得Δb2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2為方程的兩根).所以方程ax2+bxc=0有兩個相異實根,且兩根異号,即方程ax2+bxc=0有一正根和一負根.綜上所述,一元二次方程ax2+bxc=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.

充要條件的證明策略

(1)要證明一個條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個方向進行,即證明兩個命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.

(2)在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明,證明pq的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論.

提醒:證明時一定要注意,分清充分性與必要性的證明方向.

2.求證:關于x的方程ax2+bxc=0有一個根是1的充要條件是abc=0.

[證明] 假設p:方程ax2+bxc=0有一個根是1,

qabc=0.

①證明pq,即證明必要性.

x=1是方程ax2+bxc=0的根,

a·12+b·1+c=0,

abc=0.

②證明qp,即證明充分性.

abc=0,得c=-ab.

ax2+bxc=0,

ax2+bxab=0,

a(x2-1)+b(x-1)=0.

故(x-1)(axab)=0.

x=1是方程的一個根.

故方程ax2+bxc=0有一個根是1的充要條件是abc=0.

充分條件、必要條件的判斷方法

(1)定義法:直接利用定義進行判斷.

(2)等價法:“pq”表示p等價于q,等價命題可以進行轉換,當我們要證明p成立時,就可以去證明q成立.

(3)利用集合間的包含關系進行判斷:如果條件p和結論q相應的集合分别為AB,那麼若AB,則pq的充分條件;若AB,則pq的必要條件;若AB,則pq的充分必要條件.

1.思考辨析

(1)qp的必要條件時,pq的充分條件.(  )

(2)q不是p的必要條件時,“p

q”成立.(  )

(3)若qp的必要條件,則q成立,p也成立.(  )

[答案] (1)√ (2)√ (3)×

2.“x>0”是“x≠0”的(   )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

A [由“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要條件.]

3.函數f(x)=x2+mx+1的圖象關于直線x=1對稱的充要條件是________.

m=-2 [函數f(x)=x2+mx+1的圖象關于直線x=1對稱,則-=1,即m=-2;反之,若m=-2,則f(x)=x2-2x+1的圖象關于直線x=1對稱.]

4.已知p:實數x滿足3a<x<a,其中a<0;q:實數x滿足-2≤x≤3.若pq的充分條件,求實數a的取值範圍.

[解] 由p:3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a}.

q:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.

因為pq,所以AB

所以即-≤a<0,

所以a的取值範圍是.

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