對于十八世紀的數學界而言，歐拉無疑是最偉大的人物，而除去歐拉之外，最響亮的名字無疑是拉格朗日。作為法國數學著名的“三L”之首（其餘二人為拉普拉斯和勒讓德），拉格朗日為法國數學走向輝煌奠定了堅實基礎 。由于出衆的貢獻，拉格朗日頗受拿破侖的器重，并被這位高傲的皇帝稱贊為“數學這門學科中高聳的一座金字塔”。

數學近兩百年來的許多成就都可以直接或間接追溯到拉格朗日的工作上，而對于分析學及相關學科而言，他是整個數學史上最具影響力的幾個數學家之一。

拉格朗日的一生并不像費馬那樣波瀾不驚，在自身的身世和性格，還有時代的影響下，他的一生頗具傳奇色彩，甚至算得上跌宕起伏。

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）盡管被後世稱為法國數學家和力學家，但他實際上并不能算是一個完全的法國人。拉格朗日的祖父曾經是法國的騎兵，長期在意大利的撒丁島上服役，退役後定居于意大利的都靈，又取了當地人為妻。拉格朗日的父親雖然繼承了自己父親的職務和财産，但這位著名的敗家子和投機分子很快就将财産揮霍一空。拉格朗日的父親也許是天生不幸，他的十一個子女除了拉格朗日外全部夭折。不過拉格朗日回憶到自己的父親時，卻樂觀地說到：“如果我真的繼承了豐厚的财産，那麼我很可能将與數學無緣”。這樣的“不幸”對于拉格朗日本人和數學界而言，或許是一種真的幸運。

拉格朗日的青年時代都是在都靈度過的，按照傳統，拉格朗日着重學習了歐式幾何，閱讀了歐幾裡得和阿基米德等古希臘數學家的著作，漸漸熟悉了來自古希臘的綜合幾何方法，不過幾何學在拉格朗日的一生中從未真正引起過他的興趣。

恰好在這個時候，英國著名天文學家哈雷寫的一篇名為《論分析方法的優越性》的論文傳入了拉格朗日的手中。在論文中，哈雷介紹了微積分理論在幾何學上的應用，極力稱贊分析方法相對于歐式幾何的優越性。分析學就這樣一下子引起了年輕的拉格朗日的興趣，成為了他一生研究的中心。

在非常短的時間裡，拉格朗日就通過自學掌握了當時幾乎所有的分析學知識。大約在18歲的時候，拉格朗日寫出了自己的第一篇數學論文，研究了如何用牛頓二項式定理得出函數乘積的導數。不過這一結果早已經被萊布尼茨獲得，也就是我們熟悉的萊布尼茨公式：

拉格朗日非常興奮地寫信給歐拉告訴他自己的成果，盡管這已被前人發現，但歐拉還是看出了拉格朗日巨大的潛力，于是回信鼓勵了這位年輕人。幸而拉格朗日并沒有垂頭喪氣，反而愈發奮進，成為了歐拉之後最出色的分析學家。

在歐拉的影響下，拉格朗日開始研究當時非常熱門的變分法。變分法起源于最速下降曲線問題，這個問題最早由約翰-伯努利提出，而後首先被偉大的牛頓所解決。歐拉作為伯努利家族的繼承人，對變分法可謂情有獨鐘，他于1744年出版的著作《尋求具有某種極大或極小性質的曲線之技巧》則正式标志着變分法這門學科的誕生。

拉格朗日在研究“等周問題”的過程中，他充分領會了歐拉的變分法思想，完全摒棄了伯努利兄弟那種模糊不清的幾何觀點，代之以可靠的分析方法，從而完全解決了這個了古老的問題，同時他也為變分法奠定了分析學的基礎，提出了所謂的變分法基本引理。1775年，拉格朗日發表了題為《論确定不定積分公式的極大和極小的一個新方法》，清晰地闡述自己關于變分法的分析方法，給出了一類适用範圍非常廣泛的一個變分問題的系統解法，這個問題就是求滿足一定條件的函數，使得下列積分取極值。

而且，拉格朗日對變分法的探索并沒有止步，他還繼續研究了被積函數包含高階導數和多重積分的情形。更重要的是，他成功把變分法引入到了力學之中，例如他首先用具體形式正确表達了最小作用原理。拉格朗日關于變分法的研究成果如今都成為了教材中的标準内容。

在變分法上的貢獻使得拉格朗日名聲大噪 ，風頭一度蓋過了歐拉，這使得他在19歲的時候就當上了都靈皇家炮兵學校的數學教授。在校期間，拉格朗日積極組織有才華的年輕人一起讨論，幾年後将衆人的成果結集出版為《都靈論文集》。而且他還解決了當時頗具争議的弦振動的方程問題，成功給出了正确的數學表達式，拉格朗日也從這裡走上了微分方程的研究之路。

在研究不定系數常微分方程的過程中，拉格朗日引入了如今所稱的“伴随方程”這個重要概念，并且證明了一系列關于奇解和通解的重要結論，指出了它們之間的重要關系。這些關于常微分方程的理論如今也構成了相關教科書的标準内容。同時，拉格朗日也是一階偏微分方程理論的開創者，他建立起了一些關于偏微分方程的初步理論，這些理論後來被柯西發揚光大。

由于在分析學上的貢獻實在太耀眼，拉格朗日在年僅23歲之時就當選為柏林科學院的通訊院士，一躍成為歐洲最一流的數學家。

在拉格朗日的時代裡，數學分析隻是被當做研究幾何或力學的數學工具，而拉格朗日又對幾何不感興趣，那麼力學就成為了他發展分析學所離不開的學科。事實上，力學方面的成果幾乎占據了拉格朗日整個研究成就的一半。與前人不同的是，拉格朗日決不把數學看成是物理的附庸，而是力主把數學和力學等學科分離開來，通過完善數學理論來促進力學的發展，而他在天體力學和分析力學上的成就充分證明了自己的思想是多麼正确。

1764年，拉格朗日利用萬有引力定律成功解釋了月球天平動問題，一舉斬獲重量級的巴黎科學院大獎，這也是他對力學思考後的第一個成果。兩年之後，拉格朗日再次獲得巴黎科學院大獎，這次的成果是關于更為複雜的木星四衛星問題。這樣的榮譽可能和如今得兩次諾貝爾獎差不多，不過雄心壯志的拉格朗日對力學的期望遠不止此，他要尋找一套關于力學的普适方法，就像天體力學中的萬有引力定律一樣，這些思考的結果總結在了後來的巨著《分析力學》之中。

對于當時的天體力學而言，拉格朗日既不是第一人，也不是成就最大的（集大成者當屬拉普拉斯），但對于分析力學而言，拉格朗日無疑是“上帝”一般的人物，僅僅是一個拉格朗日方程，便足以讓他名留青史。

1766年，自诩為“歐洲最偉大的國王”的普魯士國王腓特烈二世為了滿足自己“歐洲最偉大的宮廷要有最偉大的數學家”這個願望，在歐拉和達朗貝爾的引薦下，邀請了拉格朗日來到柏林科學院工作。拉格朗日一下子成為了歐拉的同事，而且這一待就是二十年，直到腓特烈去世。作為一個外國人，拉格朗日在古闆的德國人包圍下，過得并不太愉快，但這絲毫沒有影響他的研究熱情，而實際上，拉格朗日一生最重要的成就幾乎都是在這段時間裡完成的。

達朗貝爾

在拉格朗日之前，受牛頓和伯努利兄弟的影響，對力學的研究都非常依賴于幾何直觀，但實際上這是一個沉重的枷鎖。受歐拉的達朗貝爾的啟發，拉格朗日的想法則是完全擺脫幾何上的直觀，代之以可靠的分析方法，這與他在變分法上思想完全一緻。這些思想和成果都總結在了《分析力學》一書中，全書以變分法為基礎，突出分析方法，将力學中的關系全部數學化，從而建立起了一套優美和諧的力學體系。書如其名，全書沒有任何一幅圖，隻用了數學分析的方法，故此拉格朗日甚至直言：

力學已經成為數學分析的一個分支！

方程與數論

盡管拉格朗日以分析學上的成就著稱，但他在代數和數論上的成就在曆史上也占有一席之地。在 《關于解數值方程》和《關于方程的代數解法的研究》兩篇論文中，拉格朗日提出了“方程的預解”和“根的置換”這樣的概念，這實際上已經蘊含了置換群的思想。這樣的思想最終被伽羅瓦和阿貝爾繼承，并最終徹底解決了一般高次方程無根式解這一千年數學難題。

一般五次方程：ax^5 bx^4 cx^3 dx^2 ex f=0（a,b,c,d,e,f為常數，x為未知數，a≠0）

同時，拉格朗日在數論上的貢獻也不容小觑。首先他證明了費馬所遺留的兩個難題：

證明一個正整數可以表示為不超過四個平方數之和 ；

求不定方程x^2-Ay^2=1的整數解，其中A為非平方整數。

拉格朗日不僅解決了這些即使在歐拉手裡也無能為力的難題，更重要地，他還提出了解決這些問題的基本理論，同時也對原問題進行了推廣，甚至考慮了更一般的情形。除此之外，他還證明了：

圓周率π是無理數；

n是素數的充要條件為(n-1)！ 1能被n整除。

巴黎

普魯士國王腓特烈二世在1786年去世，此時歐拉也已經去世，拉格朗日一下子失去了靠山，在柏林成為了受排斥的“異鄉人”，于是在法國國王路易十六的邀請下，他最終回到了自己的祖國，定居于巴黎，直至去世。身心俱疲的拉格朗日自感已無力再從事難題的研究，但偏偏又碰上了大革命，這又再次激發了他的創作熱情。盡管為舊王朝服務過，但革命派和拿破侖非常賞識和敬重拉格朗日的才華，這使得拉格朗日不僅免遭像拉瓦錫那樣被砍頭的噩運，而且還被委以重任，在新成立的巴黎高師和綜合工科大學任教。

盡管這一時期拉格朗日沒有出色的研究成果，但他還是完成了許多重要工作。1799年，在拉格朗日的領導下，巴黎科學院完成了統一度量衡的偉大創舉，提出了今天我們所使用的諸如十進制的米制單位等。比較有意思的是，當時有不少人想采用十二進制，但在拉格朗日的堅持下，最終還是采用如今廣為使用的十進制。

此外他還編寫了著作《解析函數論》和《函數計算講義》等，闡釋了自己對一般微積分理論的思考，我們非常熟悉的拉格朗日中值定理和拉格朗日插值公式就首次出現在這些著作中。但囿于時代的限制，拉格朗日刻意回避“極限”這個概念，因此他并沒有真正解決微積分的本質問題，而“分析的嚴格化”這項劃時代的工作将由柯西和魏爾斯特拉斯等後人所徹底完成。

生前身後

整個十八世紀的數學為歐拉和拉格朗日所支配，在拉格朗日還活着的時候，他就被尊稱為歐洲最偉大的數學家，拿破侖更是親封他為伯爵，由此可見他在數學史上的地位有多高。我們常常贊譽歐拉為“分析的化身”，而作為歐拉思想的真正繼承人，拉格朗日完全算得上是“分析二世”，而事實上，他在很多方面都超越了歐拉，至少在分析和力學上是如此。因此我們看到，拉格朗日無愧為近代數學史上最具影響力的數學家之一。

拉格朗日于1813年4月11日去世，一個數學時代就此落下也帷幕……

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