最小的一位數是0還是1？

這個問題在很長一段時間存在争論。先來看看《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁“關于幾位數”的叙述：“通常在自然數裡，含有幾個數位的數，叫做幾位數。例如“2”是含有一個數位的數，叫做一位數；“30”是含有兩個數位的數，叫做兩位數；“405”是含有三個數位的數，叫做三位數……但是要注意：一般不說0是幾位數。

再來聽聽專家的說明：在自然數的理論中，對“幾位數”是這樣定義的，“隻用一個有效數字表示的數，叫做一位數；隻用兩個數字（其中左邊第一個數字為有效數字）表示的數，叫做兩位數……所以，在一個數中，數字的個數是幾（其中最左邊第一個數字為有效數字），這個數就叫幾位數。

于此，所謂最大的幾位數，最小的幾位數，通常是在非零自然數的範圍研究。所以一位數共有九個，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。

6

“倍”和“倍數”的區别

在第一學段我們學習了“倍的初步認識”，認識了概念“倍”，而在第二學段,我們又學習到“倍數”這個概念。那麼，“倍”和“倍數”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什麼區别呢？

“倍”指的是數量關系，它建立在乘除法概念的基礎上。例如：男生有10人，女生有30人，因為“10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數（30）是男生人數（10）的3倍，也可以說，男生人數（10）的3倍等于女生人數（30）。勿甯說，“倍”其實表示的是兩個數的商（這個商可以是整數、小數、分數等各種表現形式）。

“倍數”指的是數與數之間的聯系，它建立在整除概念的基礎上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數。可見，“倍數”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數的形式有特别的要求（必須為整數）。

同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應寬泛于“倍數”，後者可以視為前者在特定情形下的一種表現。

7

“時”和“小時”有什麼不同？怎樣使用“時”和“小時”？

首先應該明确的是，〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務院發布的《關于我國統一法定計量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、〔小〕時、分作為輔助單位。

（注：〔〕裡的字，在不緻混淆的情況下，可以省略）。

這樣，在我國範圍内使用的法定時間單位就有：天（日）、〔小〕時、分、秒。

由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易産生混淆，在實際應用時間單位“時”時，

現行教材作了如下處理：

7．1當列式計算出時間的長短時，在得數的括号裡寫上時間的單位“時”。例如：超市營業時間：21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）

7．2在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念産生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：超市營業時間12小時。

7．3在用語言表示時刻時，一律不得出現“小時”字樣。例如：公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。

8

“改寫”和“省略”是一樣的嗎？

從形式上看，此例将“改寫”與“省略”兩種對數的變化置于了同一個要求之下（即改寫成用“億”作單位的數）。我們真希望編者不是有意而為之，因為“改寫”與“省略”其本質是完全不同的。

表現在：

8.1目的不同。

“改寫”的目的是方便對大數的讀寫，而“省略”則是取數的近似值。

8.2方法不同。

此處的“改寫”是去掉“億”位後面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位，還要考慮被省略的尾數的最高位是幾，然後用四舍五入法求出近似數。

8.3符号不同。

“改寫”隻改變了數的表現形式，大小并未改變，所以用“=”号連接；而“省略”既改變了數的形式，又改變的數的大小，所以用“≈”連接。

9

“路程”就是“距離”嗎？

這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的，其實不然。

“路程”是指從一個地點到另一個地點所經過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度。

“路程”所經過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。

一般情況下，兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，隻有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相等。

雖然老師們都知道這個等式是成立的,但我們的學生卻沒有相應的知識儲備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學生所理解和接受的證明途徑。

10

最大的分數單位是1/2還是1/1？

先看看分數單位的含義：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣一份的數。

顯然，在分數意義中，關鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。

因為把單位“1”平均分成的最少份數是2份（如果是1份，也就無所謂“分”），由此得到的分數單位是1/2，所以1/2是最大的分數單位。

盡管就廣義的分數來說，1/1也可視作分數，但它已不是我們通常意義上認識的與整數對立的那種分數（在平均分的基礎上所産生），故此，最大的分數單位應以1/2為宜。

11

像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數是不是分數?

分數的定義明确告訴我們:把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣一份或幾份的數,叫分數。其中，分成的份數叫做分數的分母，要表示的份數叫做分子。

由此可知，分數的分子和分母都應該是非零自然數。從這個意義來說，以上這幾個數徒具分數的形式，而不具分數的實質，因此都不應該視為分數。

進而，在考查學生對“分數”涵義的理解時，應着眼于通常意義上的分數，将上述這些變異形式納入思考的範圍，其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義，而且會令諸如“分數都大于0”等命題的真與假陷入尴尬。

12

比6多1/2的數”應該是“61/2”還是“6×（11/2）”

要弄清這個問題，先得弄清“6”的性質。顯然，此處的“6”其實質是一個“數”，而非一個“量”，求“比6多1/2的數”應屬于“求比一個數多幾的數”的範疇，問題中的“多幾”都是确定的具體數，這裡的“幾”既可以是整數，也可以是小數或分數。

所以，這裡的“1/2”是指在6的基礎上“多1/2”這個“1/2”數的本身，而非“6的1/2”。

所以，“比6多1/2的數”應該是“61/2”。

當然，如果題目确定為“比6多它的1/2的數”，那答案則屬于後者。

13

計算出勤率可不可以不乘100%？

先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。

同一課程标準下，不同的教材給出了不同的理解，這給執教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“××率”其結果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實際出勤人數占應出勤人數的百分之幾。

如果公式隻寫成：出勤率=實際出勤人數／應出勤人數，我們說這隻是分數形式（也即是求實際出勤人數占應出勤人數的“幾分之幾”），并不是百分數。

因此，在公式後面乘上“１００％”，既可以使計算數值大小不變，又能保證結果形式滿足百分數的要求。因此，計算出勤率、發芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應乘“１００％”。

同時建議各版本教材的編委統一思想，以免給一線教師造成認識上的混亂。

14

小于９０度的角都是銳角嗎？

根據課标教材定義：小于９０度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又産生一個新的問題：０度的角是什麼角，也是銳角嗎？

事實是，銳角定義有一個隐含的前提，就是小學數學中所讨論的角都是正角。習慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉時，就把它看成零角。如果将角的概念推廣到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。

由此，嚴格意義上的銳角定義應是：大于０度而小于９０度的角叫做銳角。

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足球比賽記分牌上的“３︰２”是數學中的“比”嗎？

我們至少可以從兩個方面來理解它們的差别。

第一，球類比賽中的“３︰２”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比，即表示相差關系，一方得３分，另一方得２分，雙方相差１分；數學中的“３︰２”表示的是“３÷２”，是“倍”比，商為１.5。有鑒于此，球類比賽中的“比”（其實是比分），其後數可以為０的，而數學中的“比”，其後數（相當于除數）是不可以為０的。

第二，數學中的“比”是可以化簡的，如“４︰２＝２︰１”；同樣的“４︰２”放在球類比賽中，卻不可以化簡，如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實際得分了。

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