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e為什麼是自然常數

圖文 更新时间:2024-09-10 02:20:40

自然常數e是一個非常重要的無理數,它的存在很大程度上影響了我們的學習與生活。自然常數e為什麼這麼重要?

e為什麼是自然常數(自然常數e是什麼)1

什麼是自然常數e?

它的定義是

e為什麼是自然常數(自然常數e是什麼)2

其數值約為:e ≈ 2.71828

為什麼自然常數e和銀行利息有關呢?

這裡以一個銀行存款的例子簡單描述一下:

我們在銀行存款是有利息的,而存款賺到的利息又可以繼續和本金一起,賺取更多的利息。

當然,銀行不是慈善家,它們結算利息的頻率很低,要每一年甚至三年才結算一次,也就是說,在這一年或者三年的時間裡,已經獲得的利息并不能幫我們賺取更多利息。

下面考慮一種理想狀況,也就是假定有這樣一家銀行,它一年的存款利率是100% (簡記為1),并允許我們自由選擇結算利息的次數。

如果我們存入銀行1塊錢,那麼我們一年最多能夠賺多少錢呢?

(1) 如果隻在年底結算一次利息,由于一年的利率是1,那麼一年後我們可以連本帶利得到2塊錢。

e為什麼是自然常數(自然常數e是什麼)3

(2) 如果我們要求每半年就結算一次利息,由于半年的利率是1/2,那麼一年後我們可以連本帶利得到2.25塊錢。

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(3) 如果我們要求每一個月就結算一次利息,由于一個月的利率是1/12,那麼一年後我們可以連本帶利得到2.61塊錢。

e為什麼是自然常數(自然常數e是什麼)5

(4) 可以看到,利息結算次數越多,年底獲得的收入也就越多。

如果我們腦洞大開,要求銀行時時刻刻為我們結算利息,也就是說結算利息的次數為無數次,那麼我們能否得到無窮無盡的收入,實現數錢數到手抽筋的夢想呢?

很遺憾,這個是不可能的!因為我們最終獲得的收入其實就是下面這個式子,

e為什麼是自然常數(自然常數e是什麼)6

而數學家的計算已經表明,這個式子的值其實是有限的,其大小為2.718281828…,是一個無限不循環小數,為了使用方便,我們就用e來代表它。

所以,e就是複利的極限,或者更廣義地說,應該是增長的極限

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