矩陣可逆的定義：令A是數域F上的一個n階矩陣，若存在F上n階矩陣B，使得
AB=E(E為n階單位矩陣)
則A為可逆矩陣，并且将A的可逆矩陣
記作A⁻¹，稱A⁻¹為A的逆矩陣。
可逆矩陣A的逆矩陣A⁻¹的逆矩陣為A
即(A⁻¹)⁻¹=A
證明：如果矩陣A為A⁻¹的逆矩陣，那麼
根據矩陣可逆的定義，我們可以得到下面這個式子
A⁻¹A=E
所以，A為A⁻¹的逆矩陣。
可逆矩陣的性質2如果矩陣A可逆，那麼(kA)⁻¹=A⁻¹/k
證明：因為矩陣A可逆，所以AA⁻¹=E
所以，（A⁻¹/k)(kA)=[(A⁻¹/k)k]A
=A⁻¹A=E
所以，(kA)⁻¹=A⁻¹/k
可逆矩陣的性質3如果矩陣A和B都是可逆矩陣，那麼
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
證明：根據可逆矩陣的定義
(AB)B⁻¹A⁻¹=A(BB⁻¹)A⁻¹
=AEA⁻¹
=AA⁻¹=E
所以，這個等式成立。
可逆矩陣的性質4如果矩陣A可逆，那麼(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ
證明：根據可逆矩陣的定義
Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=(A⁻¹A)ᵀ=Eᵀ=E
所以，這個等式成立。
可逆矩陣的性質5如果矩陣A可逆，那麼(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ
證明：根據矩陣可逆的定義
Aᵏ(A⁻¹)ᵏ=(AA⁻¹)ᵏ=Eᵏ=E
所以，這個等式成立。
矩陣可逆的性質6如果矩陣A是可逆矩陣，那麼|A⁻¹|=|A|⁻¹
證明：因為A為可逆矩陣，所以
AA⁻¹=E
從而，|AA⁻¹|=|A||A⁻¹|=|E|=1
進而，|A⁻¹|=1/|A|
即 A⁻¹|=|A|⁻¹
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