矩陣是一個非常抽象的數學概念，很多同學都對其望而生畏。但是，如果能夠具體的理解了内部含義，就如同打開了一扇新的大門。

本文主要講的是特征向量（Eigenvector）和特征值（Eigenvalue）。

基向量

我們一般研究數學，都是在直角坐标系中，這就造就了兩個基向量：v（0,1）和 u（1,0）。

為了說明特征向量，我們先看一下矩陣A和向量B（1，-1）：

矩陣A

如果将A和B相乘，結果如下：

AB和2B

矩陣實際上可以被看作為一個變換，AB實際上表達的意思是 向量B 通過矩陣A完成了一次變換，有可能隻是拉伸，有可能是旋轉，有可能兩者都有。

上圖中，2B的理解就簡單很多，是将向量B拉長2倍。

那麼，特征向量的定義如下：

任意給定一個矩陣A，并不是對所有的向量B都能被A拉長（縮短）。凡是能被A拉長（縮短）的向量稱為A的特征向量(Eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個特征向量對應的特征值（Eigenvalue）。

上例中，B就是矩陣A的特征向量，2是特征值。

特征值的求法

02 怎麼求矩陣的平方和多次方

矩陣A

還是矩陣A，如果讓你求矩陣A的平方，你可能會覺得挺容易的。

但是，如果讓你求A的100次方呢？

還有那麼容易嗎？

按照上面的方法，一點規律沒有，隻能硬着頭皮算。

補充一個概念：對角矩陣

對角矩陣

對角矩陣，顧名思義，隻有對角線上有值，其他位置都是0。為什麼對角矩陣特殊，如上圖，C的平方就是對角線上數的平方，多次方也一樣。

那麼，怎麼才能将矩陣A轉變成矩陣C呢？

這就用到特征值和特征向量了。

A的特征值

A有兩個特征值，對應兩個特征向量：（1,0）和（1，-1）。

如果我們将兩個特征向量看作是一個新的坐标系的基向量，并組合成矩陣D：

我們來計算一下

如上圖，成功的通過特征向量将A轉變成了對角矩陣C。

A和B相似

03 求A的多次方

這下求A的多次方就方便多了：

由于C是一個對角矩陣，C的n階矩陣就比較好運算。

有的同學會問，這些計算到底有什麼用。下面舉個例子。

比方說圖片，圖片其實是一個一個像素排列在一個矩陣中。

上圖所有的像素點堆疊在圖片大小的矩陣A中（不要光看美女）。當我們對成像要求并不高，并且需要保留基本的成像特征值的時候，就可以将特征值從大到小的排列，并保存在矩陣C中。C中斜對角線上的值就是 上述圖像 成像的特征值。

打個比方，上圖可能有100個從大到小的成像特征值，但是我們隻取較大的50個，并且對圖片進行處理，最後我們可以得到以下圖片。

雖然不大清晰，但是主要特征并沒有丢失。

“逃學博士”：理工科直男一枚，在冰天雪地的加拿大攻讀工程博士。閑暇之餘分享點科學知識和學習幹貨。

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