所謂爪型行列式，指的是一類看起來像爪子一樣的行列式。一般指除了第一行和第一列以及對角線之外，其它元素都是0的行列式。這類行列式應該怎麼求它的值呢？接下來我們由一些特殊的例子入手，來分析它的解法。

最典型的爪型行列式，是對角線上的元素相同，除了第一個元素之外，第一行和第一列的其它元素也都相同的形式，比如n階行列式：

D=|x,a,a,…a; a,x,0,…,0; a,0,x,…,0；…, …, …, …；a,0,0,…,x|，x不等于0，元素間用逗号分隔，行與行之間用分号分隔，下同。

首先，将其它列都乘以-a/x，并全部加到第1列，就得到：

D=|x-(n-1)a^2/x,a,a,…a; 0,x,0,…,0; 0,0,x,…,0；…, …, …, …；0,0,0,…,x|.

這是一個上三角行列式，它的值等于對角線上所有元素的積，因此，

D=x^(n-1) (x-(n-1)a^2/x)=x^n-(n-1)a^2x^(n-2).

假如第一行除了第一個元素之外其它元素都是b，則結果為：D=x^n-(n-1)abx^(n-2). 由此我們可以知道，對于一般的n階爪型行列式：

D=|x1,b1,b2,…b_(n-1); a1,x2,0,…,0; a2,0,x3,…,0；…, …, …, …；a_(n-1),0,0,…,xn|，其中xj不等于0，j=1,2,…,n. 它的解法是将第一列除了第一個元素之外所有的元素化為0，從而将行列式化為上三角行列式，則它的對角線上所有的元素的積，就是行列式的值。

具體的方法是除了第一列之外，第j列乘以-a_(j-1)/xj, j=2,3,…,n，都加到第一列，得到：

D=|x1-求和(j=2->n)a_(j-1)b_(j-1)/xj,b1,b2,…b_(n-1); 0,x,0,…,0; 0,0,x,…,0；…, …, …, …；0,0,0,…,xn|=(x1-求和(j=2->n)a_(j-1)b_(j-1)/xj)求積(k=2->n)xk.

最後來看一道真題，作為一個實例結束這個類型的行列式的探究。求n階(爪型)行列式：D=|1,2,3,…n; 2,1,0,…,0; 3,0,1,…,0；…, …, …, …；n,0,0,…,1|.

這個行列式的第一行是正整數列，第二行也是正整數列，對角線上的元素都是1. 我們可以代入上面推出來的公式，直接得到答案：D=(1-求和(j=2->n)j^2​。其中正整數的平方數列前n項和的公式是n(n 1)(2n 1)/6，因此，D=2-n(n 1)(2n 1)/6.

當然，這裡探究的是最典型的爪型行列式，如果對它進行變形，每改變一點，結果都可能會發生非常大的變化，因此學習還是要有探究的精神，靠推導公式就想解決一切同類問題，顯然是不科學的。

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