一、矩形、菱形、正方形的性質

1.矩形的性質

①具有平行四邊形的一切性質；

②矩形的四個角都是直角；

③矩形的對角線相等；

④矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；

⑤直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2.菱形的性質

①具有平行四邊形的一切性質；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是它的對稱軸；

⑤菱形的面積＝底×高＝對角線乘積的一半。

3.正方形的性質

正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質

①邊：四邊相等，對邊平行；

②角：四個角都是直角；

③對角線：互相平分；相等；且垂直；每一條對角線平分一組對角，即正方形的對角線與邊的夾角為45度；

④正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數為 （ ）

A．360 B．90

C．270 D．180

例2 如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，對角線AC與BD相交于點O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的長。

例3 如圖， O是矩形ABCD 對角線的交點， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度數。

例4 菱形的周長為40cm，兩鄰角的比為1:2，則較短對角線的長________ 。

例5 如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數量關系，并說明理由．

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

①有一個内角是直角的平行四邊形是矩形；

②對角線相等的平行四邊形是矩形；

③有三個角是直角的四邊形是矩形；

④還有對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

2.菱形的判定方法

①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

③四條邊都相等四邊形是菱形；

④對角線垂直平分的四邊形是菱形。

3.正方形的判定

①菱形 矩形的一條特征；

②菱形 矩形的一條特征；

③平行四邊形 一個直角 一組鄰邊相等。

說明一個四邊形是正方形的一般思路是：先判斷它是矩形，再判斷這個矩形也是菱形；或先判斷它是菱形，再判斷這個菱形也是矩形。

例1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC的中點，過點A、D分别作BC與AB的平行線，并交于點E，連續EC、AD。

求證：四邊形ADCE是矩形。

例2.如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB.

求證：AD與EF互相垂直平分。

例3.已知如圖，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分線，點E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。

求證：四邊形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形

與函數綜合題

1.利用矩形、菱形、正方形的知識解決函數問題；

2.利用函數知識解決矩形、菱形、正方形的問題；

例1.如圖，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上，點D的坐标為（4，3）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x軸正方向平移，當菱形的頂點D落在函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上時，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離。

例2.如圖，點B、C分别在兩條直線y=2x和y=kx上，點A、D是x軸上兩點，已知四邊形ABCD是正方形，則k值為______．

例3 已知點A、B分别是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數y=x 1圖象的其中一個伴侶正方形．

（1）若某函數是一次函數y=x 1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

（2）若某函數是反比例函數，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數解析式。

四、矩形、正方形的翻折

1.從翻折中找出對稱軸，利用對稱性找相等關系。

2.利用相等關系建立方程解決問題。

例1 如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，将△ABE沿直線BE折疊後得到△GBE，延長BG交CD于點F．若CF=1，FD=2，則BC的長是( )

A．3√6 B．2√6

C．2√5 D．2√3

例2 如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點E為BC上一動點，把△ABE沿AE折疊，當點B的對應點B′落在∠ADC的角平分線上時，則點B′到BC的距離為（　　）

A.1或2 B. 2或3

C.3或4 D. 4或5

例3 如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE，将△ABE沿BE對折，A點恰好落在對角線BD上的點F處。延長AF，與CD邊交于點G，延長FE，與BA的延長線交于點H，則下列說法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=2-√2；⑤S△AEF=S△DFG．其中正确的說法有（　）

A．1個 B．2個　　

C．3個 D．4個

例4 四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分别交CB、DC與點M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點H。

(1)如圖1，猜想AH與AB有什麼數量關系？并證明。

(2)如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且BD=2，CD=3，求AD的長。

五、綜合運用

1.計算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形進行計算。

2.證明。利用矩形、菱形、正方形的性質和判定，結合全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的知識展開證明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知識展開探究。

例1 在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，将邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

(1)小明發現DG⊥BE，請你幫他說明理由．

(2)如圖2，小明将正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．

(3)如圖3，小明将正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉，線段DG與線段BE将相交，交點為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由。

例2 現有兩個具有一個公共頂點的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M為線段BD中點，連接CM，EM.

(1)如圖1，當A、B、D在同一條直線上時，若AC=1，AE=2，求FM的長度；

(2)如圖1，當A、B、D在同一條直線上時，求證：CM=EM；

(3)如圖2，當A、B、D在同一條直線上時，請探究CM，EM的數量關系和位置關系，請先給出結論，然後證明。

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