教學中沒看見的部分有多少?我們需要重新認識教材，教材裡通常有一些我們看不見的内容在小學數學教材裡，這樣的四邊形沒看見（圖1、2），這樣的空間四邊形也沒看見（圖3、4），這樣的對稱四邊形也沒看見（圖5）……，接下來我們就來聊聊關于教學中沒看見的部分有多少?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

教學中沒看見的部分有多少

我們需要重新認識教材，教材裡通常有一些我們看不見的内容。在小學數學教材裡，這樣的四邊形沒看見（圖1、2），這樣的空間四邊形也沒看見（圖3、4），這樣的對稱四邊形也沒看見（圖5）……

這些都是我們在教材和日常教學中沒看見的内容。其實，不止于内容，我們沒看見的還有許多方面……

不少數學知識，我們隻看見了它的“現在”，沒看見它的“曆史”與本源。比如，我們都知道毫米、厘米、線段、閏年、函數等概念，但是毫米為什麼叫毫米？厘米為什麼叫厘米？閏年為什麼叫閏年？為什麼創造函數這個概念時，用這個“函”？

我曾引導學生通過查閱《漢語詞典》發現概念背後的秘密：“毫”的第5個義項是“千分之一”。原來毫米就是千分之一米，毫升就是千分之一升，毫克就是千分之一克，毫安就是千分之一安……“厘”的第1個義項是“百分之一”。原來厘米就是百分之一米。由此，學生不僅知道了概念的由來，更理解了進率和換算。

“段”的意思是“一部分”，線段的意思是“直線的一部分”。“閏”的本義是“餘數”，閏年就是有多餘的那一天的那一年。

而函數源自中國近代數學家李善蘭。函是含的通假字，函數就是含數，一個式子中含有一個變數（變量、變化的元素），式子sinα，α是一個變量、一個變數，所以這個式子是個函數，因為它是研究三角形的，所以它是三角函數。

不少數學知識，我們隻看見“這裡（樣）”，沒有看見“那裡（樣）”。我在教學中會讓學生品味西方文化裡的周長parimeter，其詞根pari表示“環繞、周圍”，meter表示“測量、米數”，合起來：環繞周圍測量米數；中國文化裡的周長，周是“周圍、一圈”，長是“長度”，合起來就是“周圍一圈的長度”。

品味射線half-line，half是一半，line是直線，原來射線是半直線。品味小數Decimal中，Deci是十分之一，mal是微小的、不足的，原來Decimal的意思是：小數是從1開始，十分之一、十分之一地變小的數（1→0.1 →0.01 → 0.001→0.0001→……）。

所以，“全景式數學”正在着力引領學生遊曆中外，博覽廣采，追根溯源，讓學生在東西方文化之根中盡情穿行……

我們往往隻看見傳統數學，卻沒看見非傳統數學，沒看見與時俱進的數學。美國數學家懷爾德說：“研究生階段的課程一般都是與時俱進的，然而中小學仍在教授着中世紀的數學，直到現在才受到挑戰。”值得深思和追問的是：我們的中小學數學課程是否受到了挑戰？我們做好了應對挑戰的準備了嗎？

在大模塊整合、節約出一定學時的基礎上，為了讓學生完整認識世界，我從“必須”“能學”且“喜歡”這幾項标準，補充了1到6年級非傳統數學内容，分“非歐幾何、模糊數學、邏輯初步、運籌初步”四線階梯式循環推進。我會讓一年級孩子“看見”轉拓（圖6），二年級孩子“看見”分形（圖7、8），三年級孩子“看見”“黎曼”（圖9、10、11），四年級孩子看見“羅氏”（圖12），五年級的孩子看見萊洛三角形（圖13-14）……

我的學生見過“分形”，便能用“分形”看這個世界；見過“黎曼”，便能用“黎曼”看這個世界；見過“拓撲”，便能用“拓撲”看這個世界；見過“萊洛”，便能用“萊洛”看這個世界……

需要強調的是，補充這些給孩子“開窗”的内容切忌盲目求全求新，要根據學生學習的實際情況适度、适時、适量豐富和拓展；要在整合課時、保證高效落實課标規定的基本内容基礎上科學分析，确保學生完整認識世界和完整成長需要、當下能學且喜歡的前提下，系統規劃，适切設計，量力而行，不能增加學生的課業負擔。

我們往往隻看見了常規的學，卻沒有看見不常規的學。我們可以看以下兩個案例。

案例1：三角形面積，我們内地常規學法是這樣的。用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。香港地區這樣學（圖15-17）：用長方形剪除直角三角，推出直角底乘高除以2；把平行四邊形沿着兩條對角線分别剪出銳角三角形和鈍角三角形，推出它們的面積也是底乘高除以2；由此，我們可以推出：所有的三角形面積都是底乘高除以2；簡單明了，很容易理解和掌握。

案例2：三角形外角和，我們常規的學法是這樣的。

1.測量每個外角相加。

2.這樣證明：

①設n邊形内角為：∠1、∠2、∠3…∠n

②對應外角為：180°-∠1、180°-∠2…180°-∠n

③外角之和為：（180°-∠1） … （180°-∠n）= n×180°-（∠1 … ∠n）= n×180°-（n-2）×180°= 2×180°= 360°

日本還這樣學：讓學生沿着多邊形場地開車（圖18-20），學生通過開車發現“無論是幾邊形場地，車子每次轉動的都是一個外角，車子回到原點，正好打了一圈——360度”，有了親身體驗，不證自明。

除了常規的學，全景式數學還嘗試“跨學科學”，用文字、文學、文化演繹數學。我帶領學生在“創作和音”中學習按比例分配，在杠杆中玩乘法口訣，在天文學、醫學、地理學、生物學的融合中認識時間。

我引導學生看見：一年365天→人體365個穴位；一年12個月→12星座（24個節氣）→12進制→人體12經絡。看見陰曆每月28天→28星宿→東西南北四區→每區7天。這正是星期的由來，7意味着人體的“七竅”，意味着我們與月球的域位關系……

我們往往隻看見了數學的精确和綜合，沒看見數學的浪漫。全景式數學教育主張數學課程和教學要補上浪漫階段，并創編了浪漫階段課程。對此，北京師範大學中國教育創新研究院院長劉堅在給我的新書《一樣的數學，不一樣的教學》的序言中這樣寫道：“如果說，最近20年我國小學數學教育有什麼重要突破，最主要的是體現為教育工作者兒童意識的覺醒，大家普遍開始關注學生的學習體驗；另一方面，如果說迄今為止我國的小學數學教育還存在什麼急待突破的瓶頸，我想最大的問題依然是沒有充分尊重兒童階段，尤其是小學生發展的浪漫屬性。這個問題不僅存在于學校，家長、社會、教育政策制定者也普遍如此。也正因為如此，宏偉老師的探索更顯得珍貴和重要。”

我們往往隻看見讓學生“門内”的數學，沒有看見“找門”的數學。現行教材和教學都是讓學生用“等底等高的圓柱和圓錐”去研究圓錐體積。如果學生問：老師，你是怎麼知道用等底等高的圓柱和圓錐來研究的呢？是你自己想到的嗎？老師也不是自己想到的，是教參上看的，跟别人學的。

其實，解決這個問題最關鍵的一步是：如何讓學生自己獨立想到要用等底等高的圓錐和圓柱去比對。這才是解決問題的起點，是解決新問題和創新的不二法門。但是，這個關鍵的門，教材和教師大多直接給了孩子，長此以往學生面對全新的情境和問題時，就很難自己獨立解決了。

全景式數學變“師傅領進門”為“學會自己找到那扇門”。我補上了“找門”的階段和策略：用聯系的思想，尋找聯系最密切的已知去探索未知。而這種思想和方法是更上位、更一般的，并能有效移植到全新領域中創造性解決問題。

不止于此，全景式數學從10個維度完整、完善數學“思考”課程的編織和思考教學的設計實施。我的理想是：努力讓學生自覺關注和思考“思考”，看見自己如何思考，看見别人如何思考，學會更好獨立思考、創新和創造。

我們往往隻看見學習數學的外在，沒看見學習數學的内在。全景式數學不僅把“情感态度”目标提到第一位，優先捍衛兒童對數學、對世界的興趣、好奇心和信心，還引進了數學心理、元認知課程，讓學生也嘗試學會内察、監控和調節自己的學習情感、學習心理和認識自己對認知的認知。我堅信，數學是可以滋養人的——我們應該“讓數學學習成為養知、養智、養身、更養心的活動”。

“數學”中沒有看見的僅是這些嗎？難道隻有數學有這麼多的“沒看見”嗎？這是一個值得我們進一步去深思、去追問，并努力去建設的問題。

回到真實的教學中，當我們的學生看見這些“沒看見”時，他們的感受是什麼呢？我在吉林大學附中力旺實驗學校上課時，曾記錄下這樣的師生對話：

生1：以前感覺自己知道了很多，上了張老師這節課之後感覺還有更多自己不知道的，以後要自己去研究、挖掘。

生2：在上您這節課之前，我一直認為書本就可以涵蓋一切，現在與以前比有改變了，我現在認為書本不能涵蓋一切，就像今天的課一樣。

師：孩子，你讀的那本數學書并不是整個數學世界，你讀的那本數學書隻是數學的一部分，數學世界要比那本數學書廣闊得多。

我當時熱淚盈眶，課後教研時我說：當教師都不敢越教材這個雷池一步的時候，我們孩子的數學眼光能夠打開嗎？我覺得這個孩子可以警醒我們每一位教師。你那一本英語書是他的英語語言世界嗎？你那本科學教材是他整個科學的世界嗎？你們學校的學科課程是孩子整個學習的世界嗎？

全景視野下的課程和教學就是想讓學生看見不一樣的學習，看見完整的教材，看見完整的學科，看見不一樣的數學，看見世界的數學，看見更豐富、更完整的世界！因為孩子隻有看見文化，才會成為文化的人；看見完整，才會成為完整的人；看見世界，才會成為世界的人；看見未來，才會成為未來的人；看見美好，才會成為美好的人……

（作者系特級教師、江蘇省南京市赫賢學校學術總監）

《中國教師報》2021年01月13日第4版

作者：張宏偉

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