A.思維模型綜述

圓是初中數學知識的大綜合,不論是代數還是幾何,所有的知識幾乎都能在圓中體現.新課标以來圓的部分内容在中考中的地位有所下降,題目難度有所降低,但是圓的命題還是中考的熱點考題,在不少地區難度依然很大.

隻要掌握以下七個思維模型,圓的問題就有規律可找了.

(1)遇到有關弦的問題時,通常要作出垂直于弦的半徑,利用垂徑定理求有關的量;還常常連接弦的兩個端點和圓心,構造等腰三角形.

(2)遇到直徑時,常常添加直徑所對的圓周角,得到直角三角形.

(3)遇到90°的圓周角時,常連接圓周角的兩邊與圓的交點,得到直徑.

(4)遇到切線時,添加過切點的半徑,得到垂直,即一切就垂.

(5)遇到要證明切線時,若有交點,則連半徑,證垂直;若無交點,則作垂直,證半徑.

(6)遇到三角形的内切圓時,連接内心與三角形各頂點,利用内心的性質.

(7)遇到三角形的外接圓時,連接外心和三角形各頂點,利用外心的性質.

B．最新考題精析

1．（2019•中原區校級模拟）已知圓O的半徑為5，P為圓O内一點，且OP＝3，則過點P的所有弦中，弦長是整數的共有（ ）

A．4條 B．3條 C．2條 D．1條

【解析】先求出過P點的弦長的取值範圍，然後判斷出弦長為整數的弦有幾條．如圖，過P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，連接OA，

Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5，根據勾股定理，得AP＝4，即由垂徑定理得：AB＝2AP＝8，故過點P的弦的長度都在8～10之間，因此弦長為8、9、10，當弦長為8、10時，過P點的弦分别為弦AB和過P點的直徑，分别有一條；當弦長為9時，根據圓的對稱性知，符合條件的弦應該有兩條；故弦長為整數的弦共有4條，故選：A．

2．（2019•定安縣一模）如圖，⊙A過點O（0，0），C（2√3，0），D（0，2），點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，則∠OBD的度數是（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【解析】連接DC，在Rt△DOC中，tan∠OCD＝OD/OC=2/2√3=√3/3，

則∠OCD＝30°，由圓周角定理得，∠OBD＝∠OCD＝30°，故選：B．

3．（2018秋•濱湖區期末）若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，則△ABC底角的度數為（ ）

A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30°

【解析】畫出相應圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形2種情況解答即可．（1）圓心O在△ABC外部，在優弧BC上任選一點D，連接BD，CD．

∴∠BDC＝1/2∠BOC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；

∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；

（2）圓心O在△ABC内部．∠BAC＝1/2∠BOC＝50°，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．

綜上所述，△ABC底角的度數為65°或 25°，故選：C．

4．（2019•鄞州區一模）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上（不與A，B重合），DE⊥AB于點D，交BC于點F，下列條件中能判别CE是切線的是（ ）

A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECF C．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60°

【解析】連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，

∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B ∠DFB＝90°，

∵∠EFC＝∠BFD，∴∠B ∠EFC＝90°，

∵∠ECF＝∠EFC，∴∠OCB ∠ECF＝90°，∴CE是⊙O的切線．故選：B．

5．（2019•甯波模拟）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，G是弧AC上的任意一點，AG，DC的延長線相交于點F．

（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半徑；

（2）求證：∠FGC＝∠AGD；

（3）若直徑AB＝10，tan∠BAC＝1/2，弧AG＝弧BG，求DG的長．

【解答】（1）解：連接OC．如圖1所示：

設⊙O的半徑為R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，

在Rt△OEC中，∵OC²＝OE² EC²，

∴R²＝（R﹣2）² 4²，解得：R＝5，即⊙O的半徑為5；

（2）證明：連接AD，如圖2所示：

∵弦CD⊥AB,∴弧AD=弧AC，∴∠ADC＝∠AGD，

∵四邊形ADCG是圓内接四邊形，

∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD；

（3）解：如圖2中，連接OG，作GH⊥DF于H．

6．（2019•貴陽模拟）如圖①，将一塊含30°角的三角闆和一個量角器拼在一起，如圖②是拼接示意圖，三角闆斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合且∠CAB＝30°，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為0），現有射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉到CB位置，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于點E．

（1）當旋轉7.5秒時，連結BE，E點處量角器上的讀數為_____ 度；

（2）在（1）的條件下求證BE＝CE；

（3）設旋轉x秒後，E點處量角器上的讀數為y度，寫出y與x的函數表達式．

【解答】由于∠ACB＝90°，AB為斜邊，所以此量角器所在圓是以AB中點O為圓心，AB為直徑的圓．連接OE、BE，∠ACE＝7.5×2＝15°，

∵∠ACE和∠ABE都是弧AE所對的圓周角，∴∠ABE＝∠ACE＝15°．

∵OE＝OB，∴∠AOE＝2∠ABE＝30°，即E點處量角器上的度數為30度．

故答案為30；

（2）∠ECB＝90°﹣15°＝75°，∠EBC＝90°﹣30° 15°＝75°，

∴∠ECB＝∠EBC．∴BE＝CE；

（3）當旋轉x秒後，∠ACE＝2x°，根據圓周角性質可知∠ABE＝∠ACE＝2x°，

∵OB＝OE，∴∠AOE＝2∠ABE＝4x°．即y＝4x．

7．（2019•河南模拟）如圖，在△ABC中，AB＝8，∠CBA＝30°，以AB為直徑作半圓O，半圓O恰好經過點C，點D在線段AB上運動，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．

（1）求證：CE＝CF

（2）填空：①若DF與半圓O相交于點P，則當點D與點O重合時，弧BF的長為____

②在點D的運動過程中，當EF與半圓O相切時，EF的長為 ．

【解答】（1）連接CD，如圖1所示，

∵點E與點D關于AC對稱，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，

∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E ∠F＝90°，∠CDE ∠CDF＝90°，

∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF；

（2）①∵點E與點D關于AC對稱，∴DE⊥AC，

∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴DF⊥BC，∴∠FDB＝60°，

②連接OC，CD，∵∠CBA＝30°，∴∠AOC＝60°，

∵OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，

∵EF與半圓O相切，∴∠ACE＝∠B＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，

∴∠OCD＝30°，∴CD＝sin60°•AC＝2√3，

∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD＝4√3．故答案為：4√3．

C.深入歸納總結（歌訣）

圓的證明不算難，常把半徑直徑連；

有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；

直徑是圓最大弦，直圓周角立上邊，

它若垂直平分弦，垂徑、射影響耳邊；

還有與圓有關角，勿忘相互有關聯，

圓周、圓心、弦切角，細找關系把線連。

同弧圓周角相等，證題用它最多見，

圓中若有弦切角，夾弧找到就好辦；

圓有内接四邊形，對角互補記心間，

外角等于内對角，四邊形定内接圓；

直角相對或共弦，試試加個輔助圓；

若是證題打轉轉，四點共圓可解難；

要想證明圓切線，垂直半徑過外端，

直線與圓有共點，證垂直來半徑連，

直線與圓未給點，需證半徑作垂線；

四邊形有内切圓，對邊和等是條件；

D．最新考題精煉

需要詳細答案的word版本，可留下信箱，抽時間可發送與你，期待你的關注，留言互動。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!