有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角。等腰三角形的底角隻能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．

性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．

等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況隻有一條對稱軸，注意不能說頂角的平分線、底邊上的高線是對稱軸。

例題1：如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分線AD交BC于點D，過點B作BE⊥AD于點E.求證：AD＝2BE.

分析：由角邊角證明△AME≌△BAE得BE=ME，BM=2BE，再證明△ACD≌△BCM得AD=BM，等量代換證明AD=2BE。有角平分線 高線，通過三線合一可得到中線，但是在解答題中最好不要直接使用，利用全等三角形進行證明。

本題綜合考查了等腰直角三角形的性質，直角三角形中兩銳角互餘，等角（或同角）的餘角相等，全等三角形的判定與性質，等量代換、三線合一等相關知識點，重點掌握全等三角形的判定與性質，難點作輔線構建三角形證明全等。

如果一個三角形中有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）。等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理。

例題2：如圖，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求證：AB=CD BC．

方法一：先在AB上取BE=BC，根據SAS證出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再證明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最後根據AB=BE AE，即可得出答案；

在前面的文章中，我們講過，遇到a b=c這種類型的題目，首先想一下能不能利用截長補短法解決問題，如果不能的話，再去想其它的方法。

方法二：先延長BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS證出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最後根據BF=BC CF=BC CD，即可得出答案．

此題考查了等腰三角形的判定與性質，用到的知識點是三角形的外角、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線，構造全等三角形．

（1）操作實踐：△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并标出分割成兩個等腰三角形底角的度數；（要求用兩種不同的分割方法）

（2）分類探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應示意圖并寫出△ABC最大内角的所有可能值；

（3）猜想發現：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什麼條件？（請你至少寫出兩個條件，無需證明）

第1問：按要求畫圖（作AB的中垂線或作BC的中垂線）即可；

第2問：在（1）的基礎上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成兩個等腰三角形的各種情形，一共有4種情況，分别畫圖即可；

圖1的最大角=39° 78°=117°，

圖2的最大角=24° 180°-2×48°=108°，

圖3的最大角=24° 66°=90°，

圖4的最大角=84°，

故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；

（3）若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，應滿足下列條件之一：

①該三角形是直角三角形；

②該三角形有一個角是最小角的2倍；③該三角形有一個角是最小角的3倍．

此題主要考查等腰三角形的性質及三角形内角和定理的綜合運用，本題不僅趣味性強，創造性強，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類讨論”等數學思想，有難度。

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