縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關性質以及對于性質，概念的準确叙述等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圓的有關性質，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質等的運用一般以計算證明的形式考查；利用圓的知識與其他知識點如代數函數，方程等相結合作為中考壓軸題将會占有非常重要的地位，另外與圓有關的實際應用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是熱門考題，請同學們注意.

類型1 結論探究問題

例1.（2018秋•江都區校級月考）已知：如圖，△ABC内接于⊙O，AB為直徑，點D是弧AC上的一點，連接AD、BD，AC交BD于點F，DE⊥AB于點E，交AC于點P，∠ABD＝∠CBD＝∠CAD．

（1）求證：PA＝PD；

（2）判斷AP與PF是否相等，并說明理由；

（3）當點C為半圓弧的中點，請寫出BF與AD的關系式．并說明理由．

【分析】（1）由AB為⊙O的直徑知∠ABD ∠BAD＝90°、由DE⊥AB知∠BAD ∠ADE＝90°，據此可得∠ABD＝∠ADE，根據∠ABD＝∠CAD得出∠CAD＝∠ADE，從而得證；

（2）證∠EDF＝∠DFP，得PA＝PD＝PF；

（3）延長AD、BC交于點H，先證△BDA≌△BDH得AD＝DH＝1/2AH，再證△ACH≌△BCF得BF＝AH＝2AD．

【解答】（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠ABD ∠BAD＝90°，

∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，即∠BAD ∠ADE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，

∵∠ABD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴PA＝PD；

（2）∵∠DAF ∠AFD＝90°，∠ADP ∠PDF＝90°，且∠DAF＝∠ADP，

∴∠AFD＝∠PDF，∴PD＝PF，

又∵PA＝PD，∴PA＝PF；

（3）如圖，延長AD、BC交于點H，

則∠BDA＝∠BDH＝90°，

在△BDA和△BDH中，

∵

∴△BDA≌△BDH（ASA），∴AD＝DH＝1/2AH，

∵C為半圓弧的中點，∴AC＝BC，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACH＝90°，

在△ACH和△BCF中，

∵

∴△ACH≌△BCF（ASA），∴BF＝AH＝2AD．

【點評】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握圓周角定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質等知識點．

類型2 存在性問題

例2．（2018秋•泗陽縣期中）如圖，在平面直角坐标系中，點A、B的坐标分别為（﹣2，0），（2，0），點M是AO中點，⊙A的半徑為2．

（1）若△PAB是直角三角形，則點P的坐标為　 　．（直接寫出結果）

（2）若PM⊥AB，則BP與⊙A有怎樣的位置關系？為什麼？

（3）若點E的坐标為（0，3），那麼⊙A上是否存在一點P，使PE 1/2PB最小，如果存在，求出這個最小值，如果不存在，簡要說明理由．

【分析】（1）依題意，分兩種情形：①∠PAB＝90°，②∠APB＝90°分别求解即可解決問題；

（2）求出PA，PB的長，利用勾股定理的逆定理證明即可；

（3）如圖3中，連接EM．由△PAM∽△BAP，推出PM/PB=PA/AB＝1/2，推出PM＝1/2PB，推出PE 1/2PB＝PE PM，由PE PM≥EM，推出PE PM的最小值為線段EM的長．由此即可解決問題；

【解答】（1）設P（m，n），

①如圖1，當∠PAB＝90°時，

∵⊙A的半徑為2，且A（﹣2，0），

∴點P₁（﹣2，2），P₂（﹣2，﹣2）；

②如圖2，當∠APB＝90°，

∵A（﹣2，0），B（2，0），

∴PA^²＝（m 2）^² n^²＝2^²①，

PB^²＝（m﹣2）^² n^²，AB^²＝16，

由PA^² PB^²＝AB^²得4 （m﹣2）^² n^²＝16 ②

由①②得到：m＝﹣1，n＝±√3，

∴P（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．

故答案為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．

（2）如圖2中，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝∠BMP＝90°，

在Rt△APM中，∵∠PMA＝90°，PA＝2，AM＝1，

∴PA^² PB^²＝4 12＝16，

∵AB^²＝16，∴PA^² PB^²＝AB^²，∴∠APB＝90°，∴△PAB是直角三角形．

（3）如圖3中，連接EM．

∵PA^²＝4，AM•AB＝4，∴PA^²＝AM•AB，∴PA/AM=AB/PA，

∵∠PAM＝∠BAP，∴△PAM∽△BAP，∴PM/PB=PA/AB=1/2，

∴PM＝1/2PB，∴PE 1/2PB＝PE PM，

∵PE PM≥EM，∴PE PM的最小值為線段EM的長，

∵E（0，3），∴OE＝3，

【點評】本題屬于屬于圓綜合題，考查了勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性質，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會利用分類讨論的思想思考問題，學會構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

類型3 自定義問題

例3（2018•南通模拟）如圖，⊙O的直徑AB＝26，P是AB上（不與點A、B重合）的任一點，點C、D為⊙O上的兩點，若∠APD＝∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由；

（2）若弧CD的長為13π/4，求“回旋角”∠CPD的度數；

（3）若直徑AB的“回旋角”為120°，且△PCD的周長為24 13√3，直接寫出AP的長．

【分析】（1）利用平角求出∠APD＝60°，即可得出結論；

（2）先求出∠COD＝45°，進而判斷出點D，P，E在同一條直線上，求出∠CED，即可得出結論；

（3）①當點P在半徑OA上時，利用（2）的方法求出∠CFD＝60°，∠COD＝120°，利用三角函數求出CD，進而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出結論；

②當點P在半徑OB上時，同①方法求出BP＝3，即可得出結論．

【解答】∠CPD是直徑AB的“回旋角”，

理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直徑AB的“回旋角”；

（2）如圖1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，

∴n＝45，∴∠COD＝45°，

作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，∴∠BPC＝∠OPE，

∵∠CPD為直徑AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，

∵∠APD ∠CPD ∠BPC＝180°，∴∠OPE ∠CPD ∠BPC＝180°，

∴點D，P，E三點共線，∴∠CED＝1/2∠COD＝22.5°，

∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，

即：“回旋角”∠CPD的度數為45°，

（3）①當點P在半徑OA上時，如圖2，過點C作CF⊥AB交⊙O于F，連接PF，

∴PF＝PC，同（2）的方法得，點D，P，F在同一條直線上，

∵直徑AB的“回旋角”為120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等邊三角形，∴∠CFD＝60°，

連接OC，OD，∴∠COD＝120°，

過點O作OG⊥CD于G，

∴PD PC＝24，

∵PC＝PF，∴PD PF＝DF＝24，

過O作OH⊥DF于H，

∴DH＝1/2DF＝12，

在Rt△OHD中，利用勾股定理可得OH＝5，

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；

②當點P在半徑OB上時，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：滿足條件的AP的長為3或23．

【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，三點共線，銳角三角函數，勾股定理，新定義，正确作出輔助線是解本題的關鍵．

類型4 研究性問題

例4．（2018秋•錫山區期中）（1）問題背景

如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AB＝AC，P為弧BmC上一動點（不與B，C重合），求證： √2PA＝PB PC．

請你根據圖中所給的輔助線，給出作法并完成證明過程．

（2）類比遷移

如圖②，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O内一點，AB＝AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如圖③，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O内一點，AB＝4/3AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為_______．

【分析】（1）将△ACP繞點A順時針旋轉90°到△ABQ的位置，由旋轉的性質可得：∠QBA＝∠PCA，AP＝AQ，PC＝QB，根據圓的内接四邊形的性質可證點Q，點B，點P共線，根據勾股定理可證√2AP＝PQ＝PC PB；

（2）連接OA，将△OAC繞點A順時針旋轉90°至△EAB，連接OB，OE，則可得EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC，根據勾股定理可求OE＝3√2，根據三角形三邊關系可得BE≥OE﹣OB＝3√2﹣3 （當點B在OE上時，取等号），即可求OC的最小值；

（3）如圖③構造相似三角形即可解決問題．作AQ⊥OA，使得AQ＝4/3OA，連接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ＝4/3OC，當BQ最小時，OC最小．

【解答】（1）将△ACP繞點A順時針旋轉90°到△ABQ的位置．

證明如下：∵BC是直徑,∴∠BAC＝90°＝∠BPC

∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠ABC＝45°

由旋轉可得∠QBA＝∠PCA，PA＝AQ，PC＝QB

∵∠PCA ∠PBA＝180°,∴∠QBA ∠PBA＝180°,∴Q，B，P三點共線

∴∠QAB ∠BAP＝∠BAP ∠PAC＝90°,∴QP²＝AP² AQ²＝2AP²

∴QP＝√2AP＝QB BP＝PC PB,∴√2AP＝PC PB

（2）如圖2：連接OA，将△OAC繞點A順時針旋轉90°至△EAB，連接OB，OE，

∵AB⊥AC, ∴∠BAC＝90°

由旋轉可得：EB＝OC，AE＝OA＝3，∠EAB＝∠OAC

∴∠EAB ∠BAO＝∠BAO ∠OAC＝90°,

∴OC最小值是3√2﹣3

（3）如圖③中，作AQ⊥OA，使得AQ＝4/3OA，連接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO＝∠BAC＝90°，∠QAB＝∠OAC，

∵QA/OA=AB/AC=4/3，∴△QAB∽△OAC，∴BQ＝4/3OC，

當BQ最小時，OC最小，易知OA＝3，AQ＝4，OQ＝5，BQ≥OQ﹣OB，

∴BQ≥2，∴BQ的最小值為2，∴OC的最小值為3/2

故答案為3/2.

【點評】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理．三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

總之，我們在圓問題中要領悟思想方法：遇到直徑時,一般要引直徑上的圓周角,将直徑這一條件轉化為直角的條件.遇到有切線時,一般要引過切點的半徑,以便利用切線的性質定理;或連結過切點的弦,以便利用弦切角定理.遇到過圓外一點作圓的兩條切線時,常常引這點到圓心的連線,以便利用切線長定理及其推論.求周長和面積要注意利用割補思想.圓柱和圓錐的側面展開圖是研究“化曲為直”的一條重要的思想方法.

針對近幾年中考命題方向的預測，我們提出了複習的對策.

1. 打牢基礎：準确理解與圓有關的概念及性質，理解弦、弧、圓心角與圓周角之間的關系； 會從點與圓，直線與圓關系中探索相應半徑與距離的數量關系；會用垂徑定理、切線長定理來證明一類與圓有關的的幾何題；會利用圓内接四邊形的性質、弧長與扇形面積公式，解決與圓柱，圓錐展開圖有關的計算題并會借助分割和轉化思想求陰影面積.

2.掌握方法：圓的複習不僅要抓住基礎題目的基本方法，還要從典型問題的特殊方法着手強化訓練，在解決問題的過程中不僅要善于掌握解題方法，而且要從中及時總結規律，為以後解題提供幫助.

3.關注應用：會利用圓的有關知識解決一些有關圓的實際應用題，動态題，探索題及閱讀理解題等

我們在複習時要從學科整體意識和思想方法上着手，掌握圓的有關性質、與圓的有關的位置關系；注重通性通法，淡化特殊技巧方法.我們要認真研究試題解題過程中的思維方法，注意考查不同思維方法的試題的協調和匹配，數學思想方法，内容豐富，形式多樣.在複習階段應該對數學思想方法進行梳理總結，逐個認識它們的本質特征、思維程序和操作程序.使我們的數學理性思維能力得到較全面的提高，舉一反三，以不變應萬變.

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