高中數學簡單學

【學習目标】

1.了解集合的含義，會使用符号“

”“

”表示元素與集合之間的關系．

2.能選擇自然語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用．

3.理解集合的特征性質，會用集合的特征性質描述一些集合，如常用數集、解集和一些基本圖形的集合等．

【要點梳理】

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎，一方面，許多重要的數學分支，都建立在集合理論的基礎上.另一方面，集合論及其所反映的數學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用.

要點一：集合的有關概念

1．集合理論創始人康托爾稱集合為一些确定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體.

2．一般地，研究對象統稱為元素(element)，一些元素組成的總體叫集合(set)，也簡稱集.

要點诠釋：

（1）對于集合一定要從整體的角度來看待它．例如由“我們班的同學”組成的一個集合A，則它是一個整體，也就是一個班集體．

（2）要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一方面，任何一個确定的對象都可以組成一個集合，如人、動物、數、方程、不等式等都可以作為組成集合的對象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，如上面所提到的集合A，可以作為以“我們高一年級各班”組成的集合

的元素．

3．關于集合的元素的特征

(1)确定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且隻有一種成立.

(2)互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應重複出現同一元素.

(3)無序性：集合中的元素的次序無先後之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合.

要點诠釋：

集合中的元素，必須具備确定性、互異性、無序性．反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象也就不能構成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對象是否能構成集合的依據．

解決與集合有關的問題時，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是，一方面，我們要利用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”；另一方面，問題被解決之時，應注意檢驗元素是否滿足它的“三性”．

4．元素與集合的關系：

(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belong to)A，記作a

A

(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(not belong to)A，記作

5．集合的分類

(1)空集：不含有任何元素的集合稱為空集(empty set)，記作：

.

(2)有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.

(3)無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.

6．常用數集及其表示

非負整數集(或自然數集)，記作N

正整數集，記作N*或N

整數集，記作Z

有理數集，記作Q

實數集，記作R

要點二：集合的表示方法

我們可以用自然語言來描述一個集合，但這将給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合.

1. 自然語言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶數構成的集合.

2. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x 2，5y3-x，x2 y2}，…；

3.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括号{ }内.具體方法：在大括号内先寫上表示這個集合元素的一般符号及取值(或變化)範圍，再畫一條豎線，在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

要點诠釋：

（1）用描述表示集合時應注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什麼），是數，還是有序實數對（點）還是其他形式？②元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去僞存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．

（2）用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性時，可選用邏輯聯結詞“且”與“或”等連接；若描述部分出現元素記号以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值範圍．

4.圖示法：圖示法主要包括Venn圖、數軸上的區間等.為了形象直觀，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的内部來表示一個集合，這種表示集合的方法稱為韋恩（Venn）圖法. 如下圖，就表示集合

.

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