本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

閱讀《數學的故事》有感

作者：王熙霖

作品編号：001

摘要：《數學的故事》（作者：理查德·曼凱維奇）一書介紹了有關“無窮”的數學知識，作者由此引發聯想，并找到例子來佐證作者的觀點，同時對于其實用性進行了分析。本文先引出維度與勢的概念，再全面分析了“Koch”雪花面積與周長之間的關系、“托裡拆利的小号的體積與面積的聯系”等實例，介紹了對于某種情況下“降維意味着生勢”的觀點，将“無窮”概念與“維度”聯系起來進一步分析，得出兩者确實有關聯的結論，并就其是否在生活中有實用價值進行了讨論，最後引發了有關兩者辯證統一性的思考。

關鍵詞：無窮 維度 維數 勢 降維

1 引言

本文研究了衡量物體的方法中“維度”與“勢”聯系，綜合了前人發現的一些物體的特性，由此提出相對來講統一的理論，以供将來參考及深度研究。同時将現有關的實用性想法進行分析并得出結論。

2 正文

日常生活中，人們常用“降維打擊”形容擁有高端技術的群體進入低端技術群體的領域，對後者形成碾壓式的打擊，而“維度（别稱維數）”這一概念即來源于數學，其是數學中最基礎的定義之一。可以說不理解維度，就很難理解數學中更多更重要的概念。實例往往可以幫助認識一些深刻的道理，所以理解它并不難，下面介紹一些關于維度有趣的例子：

2.1 介紹實例

“Koch”雪花是瑞典人科赫在1904年提出的一種維數約為1.26的圖形（這對于生活在三維空間的我們一定不難理解），它的作法是從一個等邊三角形開始，不斷将各邊三等分，并取中間的一份作出一個以其為底的等邊三角形。我們可以知道，這樣的操作可以無限進行下去，而對于這個圖形，它的周長也就随之升高并趨于無窮，即對于周長的勢在上升。但是對于衡量該圖形的另一個标準——面積，卻不是接近于的無窮的，換句話說，Koch雪花的面積是收斂到邊長平方的五分之二倍根号三的。這裡,“面積”相對于“周長”就是一個維數更高的概念，即對于同一個圖形來說，在衡量它的标準中維度更高的可以以有限的勢來形容，但是周長這一一維的概念就無法給出确切值了，可以理解為當“維”降低，其“勢”會升高。

這不是偶然現象，對于我們更熟悉的三維世界，也可以找出這樣的例子：“托裡拆利的小号”是一個體積趨近于π而表面積無窮的隻存在于理想空間的物體，這裡“體積”相對于“面積”又是一個高維的概念，同時也恰巧滿足維數降低而勢升高這一規律。諸如此類的例子數不勝數，卻很難找到一個滿足降維又降勢的反例，目前沒有證明兩者是否嚴格保證負相關，但是直觀上很容易想到高維度下能用有限的“容器”來包含低維度裡無窮的内容，就如小說《三體》中歌者用“二向箔”來将三維世界壓縮到二維以消除這個世界的危機。所以不難看出對于高維生物來說，“降維打擊”是易如反掌的。

2.2 實用性研究

通過以上的研究與讨論，我們得到了這樣的關系：對于事物來說，衡量的标準千千萬，但相對高維的标準是有限的，但對應到低維的标準确實無窮才得以衡量。人類是否可以利用這一概念還是未解之題。如此抽象的數學概念是和很難将其運用于實際生活當中的。不過有人提出了将“能源”這一有限資源降維以獲取無限資源，從而滿足人類活動的想法。可是對于實操卻幾乎是不可能的，首先，像煤炭，天然氣這類的能源，一般不将它們以“維數”衡量，換句話說，将能源“降維”本身就是一件困難的事情，更不用提用它們來驅動機器作業了。另有别用的可能性也不是完全沒有，作者相信在努力下是可以深度理解這一辯證統一的關系的，從而将其以更普遍的形式呈現在大衆的視角中。

2.3 本研究價值所在

從雪花到小号，再從“維數”到“勢”，這裡邊存在着辯證統一的關系——盡管形狀差之千裡，但可以找到衡量它們标準的依據之間的關系，這其實也從另一個角度展示了不同事物相互聯系的一面，同時也為統一思想提供了新的思路——按照維度與勢的關系将事物合并同類項，以幫助人們用更全面的視角來審視所在的宇宙。

3 結論

本文就物體“維度”與“勢”的關系進行了研究，得出在一些物體中衡量它們的标準裡高維對應着有限，低維對應着無窮的偶然性與必然性，将前人所給出的實例進行歸納總結，并提出作者自己的觀點将它們聯系起來，得出在某些情形下了“低緯度的無窮”與“高緯度的有限”是有深度關聯性的結論，同時也評價了現有的一些有關實用性的觀點。但是由于局限性，本文作者還是沒有研究到三維以上的實例，所以得出的結論并不具有完全普适性，故本人接下來的學習研究可以将注意力集中于發掘更高維的實例與驗證其辯證統一性。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!