1798年初夏，拿破侖率領軍隊遠征埃及。在金字塔下，即将作戰的時候，他向士兵們喊出了一句很得意的話：

“諸位，4000年保佑着你們！”

在戰鬥的間隙，部下的将軍們登上了著名的金字塔，拿破侖沒有上去，卻在下面忙着計算什麼。據說拿破侖這個人很喜歡計算，在打仗的時候也使用數學。在力學上把物體的質量與速度相乘叫做動量，他就仿照這個例子，把部隊的人數和移動速度相乘的結果作為部隊的動量來計算。騎兵部隊的人數雖然少，可是移動速度快，所以動量也就大。

且說那些将軍們從金字塔上下來時，拿破侖就把剛才計算的結果說給他們聽。

他說把三座金字塔(見圖1-8)的石頭全部合起來，可以築成高6米、厚30厘米圍繞全法國的石牆。拿破侖的計算是否準确姑且不說，僅僅聽這句話我們也可以估量出金字塔是怎樣一個龐然大物了。

圖1-9相當于10，100，1000…的數字如圖1-10。

圖1-10這樣的數字達到了1000萬，說明埃及這個古國一定需要這個龐大的數字。根據流傳下來的記錄，在一次戰争中，埃及分得了12萬俘虜、40萬頭牛和142.2萬頭山羊。這個數字即使多少有些誇張，可是對一個擁有大量人口、處于高度統治下的古代國家來說，這種程度的數字決不是難以實現的大數吧。

埃及人使用象形文字來寫數字，比如13545，這個數字的寫法如圖1-11所示。

圖1-11這是從左到右按大小順序寫的，寫的順序反過來也可以。另外，要是把和換位置寫也還是13545不變（見圖1-12）。也就是與各個數字的書寫順序(即定位)沒有關系。所以埃及的數字跟定位的原理不一樣，我們今天用的定位法是從與埃及數字不同的巴比倫王國系統産生的。

1.9　二 十 進 制

如果以一個人的手指和腳趾數為基礎，就能産生二十進制。這個二十進制和十進制并列，在今天的歐洲語言，特别是在法語裡留下了痕迹，在法語裡現在還有這種說法：

80——quatre vingts(4個20)

90——quatre vingt dix(4個20加10)

從前是用以下十進制的數詞

80——octante

90——nonante

卻特意變為使用20（vingt）的二十進制，可以看出法國人相當喜歡二十進制。雨果的著作裡有名為《93年》的小說，那就是Quatre vingt treize(20×4 13=93)，這對日本人來說是需要心算一下的問題。确實，這種二十進制不是面向孩子的算術，所以近來在小學裡停止使用vingt，把quatre vingts代之以octante，把quatre vingt dix代之以nonante，推薦使用這些合理的數詞。

但是據說現在在農村有些地方還是像從前那樣使用octante和nonante。

不僅是法語，英語裡也保留着score(20)這樣的數詞，也把“人生70”說成Three score and ten(20×3 10=70)。林肯在葛底斯堡以那句名言“人民的，依靠人民的，為了人民的政府”結尾的演說中，是以Four score and seven years ago這句話開始的，由于20×4 7=87，所以意思就是“87年前”。

可是，法語也好，英語也好，20隻是10的輔助，認真完成二十進制的民族也有，例如阿伊努人就是。阿伊努語的20是hot“一齊”，意思就是兩手(指)和兩腳(趾)全加在一塊兒。

10——wanpe

20——hot

30——wanpe-e-tu-hot(20×2－10)

40——tu-hot(20×2)

50——wanpe-e-re-hot(20×3－10)

…

别的地方不大有這樣用減法的。

除了阿伊努人以外，可别忘了還有一個民族創造了完全的二十進制，那就是中美洲的瑪雅族和墨西哥的阿茲特克族。瑪雅族的數字如圖1-13所示。

圖1-13到了20，就在•的下面畫上，用來表示。

這時的形狀就好像是眼睛，可是下一檔不是20而是18，不是400而是360。

這似乎和一年的天數有關系，作為360天來說，剩下的5天就是祭日了。

瑪雅族使用的是先進的定位方法，可是後來出現的阿茲特克族卻從定位法後退了，他們使用的是如圖1-14所示的數字。

圖1-14 20是一面旗子，但20這個單位好像還太大，于是把20分成四等份，把10或15當作輔助單位使用，如圖1-15所示。

圖1-15阿茲特克族的二十進制是很徹底的。他們和瑪雅族一樣，一個月是20天，一年是18個月，20個部落聚在一起形成一個大部落。

1.10　十 二 進 制

人有5個手指，基于這樣一個生物學的偶然事實，5，10或20就成為計算方法的基礎。舊約聖經裡說有一個手腳都有6個指頭、總共有24個指頭的巨人和大衛王打仗的事，如果是這個6指巨人創造數詞，一定是十二進制。

12 進 制實際上也有人不用十進制而改用十二進制。第一個有名的例子，據說就是瑞典國王查理十二世(1682—1718)。他率領軍隊竄擾北歐。這個外号叫“北方的狂人”的好戰國王很年輕就死去了，沒有能實行十二進制。這樣一個豪強的國王，為什麼執意要搞十二進制呢?其理由還不太清楚，不僅因為“十二世”的十二，還一定有更合理的理由。首先想到的是12的約數很多這一事實。10的約數有4個：1，2，5，10。與此相比較，12的約數是1，2，3，4，6，12，有6個。尤其是10不能用3除盡，而12卻能用3除盡，這就是它的長處。

在學者當中提倡十二進制的人是博物學家布封(1707—1788）。十二進制除了0~9的數字外，還必須有表示10和11的數字，布封用X表示10，用Z表示11。加上這兩個數字就可以用與十進制相同的方法寫出所有的數字。布封的生年1707可以寫成ZX3，卒年1788就可以寫成1050。

可是即使有查理十二世的權力和布封的博學，也不能把十二進制強加在國民頭上。這是因為必須改變數詞，而這一點很難辦到。

話雖這麼說，現在歐洲的語言和習慣上仍然保留有十二進制的痕迹。英國小學的算術教科書裡印有12×12=144的十二進制的“九九”表，可是這對英國的孩子有必要嗎?比如12個是1打，12打是1羅。在度量衡上也是以12進位的居多。12英寸是1英尺，12便士是1先令。英語的數詞也是從one、two開始說到ten，11不是ten-one，12不是ten-two，而是eleven和twelve。追溯到最古老的詞源，eleven是從哥特語的ainlif(餘1)來的，twelve是從twalib(餘2)來的，也仍然是以十進制為基礎，但現在已經是無法區别，決不能說成ten-one，ten-two。

在這一點上日語就合理得多。掌握了合理的數詞會多麼有利呢?這就不得而知了。總之“九九”表很好地利用了日語數詞的規律性，用歐洲語言可就非常困難了。

1.11　六 十 進 制

要是20太大的話，60就更大了。而以這更大的60為基礎，把六十進制付諸實際使用的卻是巴比倫王國。

巴比倫王國的六十進制現在在時間和角度的測量上仍然保留着。60秒是1分，60分是1小時，在角度上就是1度。這對于使用十進制的我們來說不太方便，可是要改變它與其說是困難的還不如說是不可能的。如果改變，那現在使用的鐘表就全都沒用了，刻着角度的機械也全都要返工改造。這個改革比起實行米制要困難得多。似乎不值得付出犧牲去實行。無論如何，鐘表和分度器上的六十進制會永存下去。

可是六十進制為什麼會在巴比倫王國産生呢？道理還不清楚，有各種各樣的說法，下面一種說法似乎最說得通。巴比倫王國是由許多小的部落逐漸擴大形成的一個國家。那時有必要把各地方紛雜的度量衡統一起來。所以有很多約數的60就很方便。如十進制的國家和十二進制的國家一起組成新的國家時，如果用10或12都能除盡的數，也就是以10和12的最小公倍數60為基礎的話，對兩國都合适。

1.12　定位與 0 的祖先

巴比倫王國和埃及是曆史上最早的城市國家，在那裡文明的發達程度差不多相同，數學水平也很相近。它們掌握了100萬或1000萬以内的數詞，知道加減乘除的計算方法，還提出了分數的想法。但是也有些不同點。

埃及在實現完整的十進制方面是先進的。巴比倫王國創立的是混雜着十進制的六十進制，因此我們得到一份不值得感謝的遺産，這就是時間與角度的六十進制。即使這麼說，巴比倫王國的數學也不是在所有方面都比埃及差。巴比倫記數法的長處究竟在哪裡呢？

像前面說過的那樣，埃及人對于1，10，100，1000，…每一個新的單位想出一個新的文字。

可是巴比倫人分别用，,來表示1，10，100，1000意味着10×100，所以寫成。我們可以認為在與之間省略了×（乘）的符号。同樣，表示10×10×100=10 000，表示10×10×10×100=100 000。這雖然隻是數字，但其中隐含着重要的想法。這個想法就是把盡量少的數字組合在一起來表示盡可能大的數。節約數字的想法逐漸發展，發明了0，誕生出計算用的數字，成了今天人類的共同财富。就是這些計算用的數字，按照定位的原理，僅用10個數字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列，就能夠表示所有的數。

埃及人為什麼不節約數字呢?原因不太清楚，也許這個原因會出乎意料地出現在我們身邊。埃及人能夠在紙莎草纖維制成的草紙上畫精巧的圖畫。當有必要寫出相當于1000萬的數字時，能夠輕而易舉地畫出這樣的圖形文字。而巴比倫人卻辦不到，他們的紙就是黏土，筆就是在黏土上刻記号的粗陋的刮棒（見圖1-16）圖1-16，用刮棒充其量也就是刻出一些楔形溝。所以要像埃及人那樣把1000寫成等等真是太難了。巴比倫人必須想辦法找竅門，用簡單的楔形溝的組合寫出1000，這樣不就産生了嗎?總而言之，也許是因為他們用粗陋的刮棒和黏土，使他們不得不節約數字吧。

可是反過來說，這件事對于數學的發展卻是幸運的。實際上，從0的發明到創造計算用的數字，這一發展的線索不是聯系在埃及系統，而是聯系在巴比倫系統的數學上。

如果是使用方便的草紙使埃及的數學停止發展，而不方便的黏土卻給巴比倫數學的發展以很好的刺激，這可以說是曆史的諷刺吧。

上文節選自《數學與生活》, 已獲人郵圖靈許可, [遇見數學] 特此表示感謝!

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