由于本文章有較多的數學公式，可能對于一些數學底子不好地看起來有些費力，建議可看自己理解部分。公式排版不是很順暢，有興趣可以點擊下方的"了解更多"，可以看到更詳細的内容。

傅裡葉分析對于工科大部分的學生來說，那絕對是一場噩夢，那是因為傅裡葉變換的公式太複雜了，可能是課本給的推導過程過于官方和嚴謹，讓你視乎看不到一絲理解的希望，本篇和下幾篇文章将以高中的三角函數講起，帶去理解傅裡葉變換和應用，并驗證所得到的表達式是否正确，希望對您有所幫助！

形如：cos0x，sin0x，cos1x，sin1x，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx這樣的三角函數，在【-π，π】上滿足正交，即其中任意兩個不同的函數之積在【-π，π】上的積分等于0。

正交性數學表達式：

理解正交性

正交性相當兩個向量的垂直，在平面直角坐标系中夾角為90°。

設兩個向量的起點為原點，切夾角為90°。

則做内積為

兩個向量正交的話，内積為0，

例子：

這兩個向量垂直正交。将向量拓展到n維向量中，

則有：

再拓展到函數中;

設：a=f(x),b=g(x)

對應的點相乘，在連續的區間内，将對應的點乘積相加，即取a,b的積分在【x1，x2】上有：

其他的組合可自行驗證，這裡我就不再啰嗦了。

傅裡葉級數展開式：

在課本上的傅裡葉展開式為：

課本上把n=0單獨列出來，求a0值。

從（2-1）式子推導到（2-4）如下：

對式子（2-4）進行兩邊取積分

又因為：

所以：

則教材書上的是

，則消掉

​ 式子中的2（已消除），與此後式子保持形式上的一緻性。

對（2-2）進行操作如下：

1.先在等式兩邊乘以

2.在對式子做積分

​

因為：

​

所以：

​

1. 當n≠m​ ，又三角函數正交性，式子​ 右邊等式為0
2. 當n=m 時

​

​

則有：

​

對（2-2）進行操作如下：

1.先在等式兩邊乘以sinmx

2.在對式子做積分

因為：

所以：

1. 當n≠m ，又三角函數正交性，式子（2-13）​ 右邊等式為0
2. 當n=m 時

​

即有：

​

周期為2π的周期函數傅裡葉展開式為：

​

同時：

​

​

​

周期函數的表示為：

用上面的方法，可用換元法，即得到

​ ，則

所以：

​

則有：

​

将

​ 代入到上面的式子中，得到

​ ，

​ 代入到上面的式子中。

t從0開始，周期為2l，

​

​

代入式子得到

​ 得

​

擴展：當T趨向于無限大，認為​不在是周期函數，該怎麼表示它的傅裡葉級數呢？

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