一、知識體系圖

基本初等函數知識體系圖

二、專題訓練

1、指數、對數的運算

解決這類問題首先要熟練掌握指數式、對數式的運算法則，熟練掌握各種變形，進行相互之間的轉化，選擇适合題目的形式進行運算。

例題1圖（1）

解題思路：

（1）利用對數的運算法則、對數恒等式即可得出；

（2）利用指數幂的運算法則即可得出。

解答過程：

例題1圖（2）

2、指數、對數型函數的定義域、值域

求定義域主要通過構建不等式（組）來求解，有時解不等式（組）時要借助于指數、對數函數的單調性。

涉及值域問題主要有兩個 類型：

一是形如 y = a^[f(x)] 和 y = logaf(x) 的函數，一般要先求出 f(x) 的值域，然後利用指數、對數函數的單調性求解；

二是形如 y = f(a^x) 和 y = f(logax) 的函數，則要根據 a^x 和 logax 的範圍，利用函數 y = f(x) 的性質求解 。

例題2圖（1）

解題思路：

（1）令 t = x^2 -2x 2 , 則 y = (1/2)^t ，根據 x 的範圍求出 t 的範圍，可得函數 y = (1/2)^t 的範圍；

（2）結合二次函數的性質即可求解 。

例題2圖（2）

解答過程：

例題2圖（3）

例題2圖（4）

3、幂、指數、對數函數的圖象和性質

解決此類問題要熟練掌握幂、指數、對數函數的圖象和性質，方程與不等式的求解可利用函數的單調性進行轉化，也可利用圖像解決，對含參數的問題進行分類讨論，同時還要注意變量本身的取值範圍，以免出現增根。

例題3圖（1）

解題思路：

由指數函數和對數函數的圖像和性質，将已知不等式轉化為不等式恒成立問題加以解決即可。

解答過程：

例題3圖（2）

4、比較大小問題

數的大小比較常用方法：

①單調性法、圖像法、作差法、作商法、中間搭橋法；

②當需要比較大小的兩個實數均是指數幂或對數式時，可将其看成某個指數函數、對數函數或幂函數的函數值，然後利用該函數的單調性作比較；

③比較多個數的大小時，先利用 “0” 和 “1” 作為分界點，即把它們分為 “小于 0 ” 、“大于等于 0、小于等于 1 ” 、“大于 1” 三部分，然後再在各部分内利用函數的性質比較大小 。

例題4圖（1）

解題思路：

利用指數函數、對數函數和幂函數的性質進行比較大小。

解答過程：

例題4圖（2）

5、分類讨論思想

在初等函數中，分類讨論的思想得到了重要的體現，可根據函數的圖像和性質，依據函數的單調性進行分類讨論，使求解得以實現。

例題5圖（1）

解題思路：

（1）結合 f(3) < f(5) 與函數 f (x ) 的奇偶性，分類讨論确定 m 的值及 f (x) 的解析式；

（2）由 g (x ) 為增函數，結合 a 讨論，求出 a 的取值範圍 。

解答過程：

例題5圖（2）

例題5圖（3）

例題5圖（4）

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