第五章　相交線與平行線

一、知識網絡結構



二、知識要點

1、在同一平面内，兩條直線的位置關系有 兩 種： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一種特殊情況。

2、在同一平面内，不相交的兩條直線叫 平行線 。如果兩條直線隻有 一個 公共點，稱這兩條直線相交；如果兩條直線 沒有 公共點，稱這兩條直線平行。

3、兩條直線相交所構成的四個角中，有 公共頂點 且有 一條公共邊 的兩個角是鄰補角。鄰補角的性質： 鄰補角互補 。如圖1所示，

與 互為鄰補角， 與 互為鄰補角。 = 180°； = 180°

； = 180°； = 180°。

4、兩條直線相交所構成的四個角中，一個角的兩邊分别是另一個角的兩邊的 反向延長線 ，這樣的兩個角互為 對頂角 。對頂角的性質：對頂角相等。如圖1所示， 與 互為對頂角。 = ；

= 。

5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個是 直角或90°時，稱這兩條直線互相垂直，

其中一條叫做另一條的垂線。如圖2所示，當 = 90°時， ⊥ 。

垂線的性質：

性質1：過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直。

性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

性質3：如圖2所示，當 a ⊥ b 時， = = = = 90°。

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離。

6、同位角、内錯角、同旁内角基本特征：

①在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側 ，這樣

的兩個角叫 同位角 。

圖3中，共有 對同位角： 與 是同位角；

與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角。

②在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側 ，這樣的兩個角叫 内錯角 。圖3中，共有 對内錯角： 與 是内錯角； 與 是内錯角。

③在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩個角叫 同旁内角 。圖3中，共有 對同旁内角： 與 是同旁内角； 與 是同旁内角。

7、平行公理：經過直線外一點有且隻有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

平行線的性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，如果a∥b，

則 = ； = ； = ； = 。

性質2：兩直線平行，内錯角相等。如圖4所示，如果a∥b，則 = ； = 。

性質3：兩直線平行，同旁内角互補。如圖4所示，如果a∥b，則 = 180°；

= 180°。

性質4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a∥b，a∥c，則 ∥ 。

8、平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 =

或 = 或 = 或 = ，則a∥b。

判定2：内錯角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 或 = ，則a∥b 。

判定3：同旁内角互補，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 180°；

= 180°，則a∥b。

判定4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a∥b，a∥c，則 ∥ 。

9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設 和 結論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。如果題設成立，那麼結論 一定 成立，這樣的命題叫 真命題 ；如果題設成立，那麼結論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正确性是經過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續推理的依據。

10、平移：在平面内，将一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

平移後，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移後得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這樣的兩個點叫做對應點。

平移性質：平移前後兩個圖形中①對應點的連線平行且相等；②對應線段相等；③對應角相等。

第六章　實數

【知識點一】實數的分類

1、按定義分類： 2.按性質符号分類：

注：0既不是正數也不是負數.

【知識點二】實數的相關概念

1.相反數

(1)代數意義：隻有符号不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數．0的相反數是0.

(2)幾何意義：在數軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點表示的兩個數互為相反數，或數軸上，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱.

(3)互為相反數的兩個數之和等于0.a、b互為相反數 a b=0.

2.絕對值 |a|≥0．

3.倒數 （1）0沒有倒數 (2)乘積是1的兩個數互為倒數．a、b互為倒數 .

4.平方根

(1)如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根．一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根．a(a≥0)的平方根記作．

(2)一個正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根．a(a≥0)的算術平方根記作 ．

5.立方根

如果x3=a，那麼x叫做a的立方根．一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零．

【知識點三】實數與數軸

數軸定義： 規定了原點，正方向和單位長度的直線叫做數軸，數軸的三要素缺一不可．

【知識點四】實數大小的比較

1.對于數軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數較大.

2.正數都大于0，負數都小于0，兩個正數，絕對值較大的那個正數大；兩個負數；絕對值大的反而小.

3.無理數的比較大小：

【知識點五】實數的運算

1.加法

同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；絕對值不相等的異号兩數相加，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0；一個數同0相加，仍得這個數．

2.減法：減去一個數等于加上這個數的相反數．

3.乘法

幾個非零實數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數有奇數個時，積為負．幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．

4.除法

除以一個數，等于乘上這個數的倒數．兩個數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數都得0．

5.乘方與開方

(1)an所表示的意義是n個a相乘，正數的任何次幂是正數，負數的偶次幂是正數，負數的奇次幂是負數．

(2)正數和0可以開平方，負數不能開平方；正數、負數和0都可以開立方．

(3)零指數與負指數

【知識點六】有效數字和科學記數法

1.有效數字：

一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精确到的數位為止，所有的數字，都叫做這個近似數的有效數字．

2.科學記數法：

把一個數用 (1≤ ＜10，n為整數)的形式記數的方法叫科學記數法．

第七章　平面直角坐标系

一、知識網絡結構



二、知識要點

1、有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對，記做（a,b） 。

2、平面直角坐标系：在平面内，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐标系。

3、橫軸、縱軸、原點：水平的數軸稱為x軸或橫軸；豎直的數軸稱為y軸或縱軸；兩坐标軸的交點為平面直角坐标系的原點。

4、坐标：對于平面内任一點P，過P分别向x軸，y軸作垂線，垂足分别在x軸，y軸上，對應的數a,b分别叫點P的橫坐标和縱坐标，記作P(a，b)。

5、象限：兩條坐标軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标軸上的點不在任何一個象限内。

6、各象限點的坐标特點①第一象限的點：橫坐标 0，縱坐标 0；②第二象限的點：橫坐标 0，縱坐标 0；③第三象限的點：橫坐标 0，縱坐标 0；④第四象限的點：橫坐标 0，縱坐标 0。

7、坐标軸上點的坐标特點①x軸正半軸上的點：橫坐标 0，縱坐标 0；②x軸負半軸上的點：橫坐标 0，縱坐标 0；③y軸正半軸上的點：橫坐标 0，縱坐标 0；④y軸負半軸上的點：橫坐

标 0，縱坐标 0；⑤坐标原點：橫坐标 0，縱坐标 0。(填">"、"<"或"=")

8、點P(a，b)到x軸的距離是 |b| ，到y軸的距離是 |a| 。

9、對稱點的坐标特點①關于x軸對稱的兩個點，橫坐标 相等，縱坐标 互為相反數；②關于y軸對稱的兩個點，縱坐标相等，橫坐标互為相反數；③關于原點對稱的兩個點，橫坐标、縱坐标分别互為相反數。

10、點P(2，3) 到x軸的距離是 ； 到y軸的距離是 ； 點P(2，3) 關于x軸對稱的點坐标為( ， )；點P(2，3) 關于y軸對稱的點坐标為( ， )。

11、如果兩個點的 橫坐标 相同，則過這兩點的直線與y軸平行、與x軸垂直 ；如果兩點的 縱坐标相同，則過這兩點的直線與x軸平行、與y軸垂直 。如果點P(2，3)、Q(2，6)，這兩點橫坐标相同，則PQ∥y軸，PQ⊥x軸；如果點P(-1，2)、Q(4，2)，這兩點縱坐标相同，則PQ∥x軸，PQ⊥y軸。

12、平行于x軸的直線上的點的縱坐标相同；平行于y軸的直線上的點的橫坐标相同；在一、三象限角平分線上的點的橫坐标與縱坐标相同；在二、四象限角平分線上的點的橫坐标與縱坐标互為相反數。如果點P(a，b) 在一、三象限角平分線上，則P點的橫坐标與縱坐标相同，即 a = b ；如果點P(a，b) 在二、四象限角平分線上，則P點的橫坐标與縱坐标互為相反數，即 a = －b 。

13、表示一個點(或物體)的位置的方法：一是準确恰當地建立平面直角坐标系；二是正确寫出物體或某地所在的點的坐标。選擇的坐标原點不同，建立的平面直角坐标系也不同，得到的同一個點的坐标也不同。

14、圖形的平移可以轉化為點的平移。坐标平移規律：①左右平移時，橫坐标進行加減，縱坐标不變；②上下平移時，橫坐标不變，縱坐标進行加減；③坐标進行加減時，按"左減右加、上加下減"的規律進行。如将點P(2，3)向左平移2個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)向右平移2個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)向上平移2個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)向下平移2個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)先向左平移3個單位後再向上平移5個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)先向左平移3個單位後再向下平移5個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)先向右平移3個單位後再向上平移5個單位後得到的點的坐标為( ， )；将點P(2，3)先向右平移3個單位後再向下平移5個單位後得到的點的坐标為( ， )。

第八章　二元一次方程組

一、知識網絡結構



二、知識要點

1、含有未知數的等式叫方程，使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解。

2、方程含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式為ax by=c(a，b，c為常數，并且a不等于0，b不等于0)。使二元一次方程的左右兩邊的值相等的未知數的值叫二元一次方程的解，一個二元一次方程一般有無數組解。

3、方程組含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，這樣的方程組叫二元一次方程組。使二元一次方程組每個方程的左右兩邊的值相等的未知數的值叫二元一次方程組的解，一個二元一次方程組一般有一個解。

4、用代入法解二元一次方程組的一般步驟：觀察方程組中，是否有用含一個未知數的式子表示另一個未知數，如果有，則将它直接代入另一個方程中；如果沒有，則将其中一個方程變形，用含一個未知數的式子表示另一個未知數；再将表示出的未知數代入另一個方程中，從而消去一個未知數，求出另一個未知數的值，将求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程，求出另外一個未知數的值。

5、用加減法解二元一次方程組的一般步驟：（1）方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不互為相反數，就用适當的數去乘方程的兩邊，使同一個未知數的系數相等或互為相反數；（2）把兩個方程的兩邊分别相加或相減，消去一個未知數；（3）解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；（4）将求出的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程，求出另外一個未知數的值，從而得到原方程組的解。

6、解三元一次方程組的一般步驟：①觀察方程組中未知數的系數特點，确定先消去哪個未知數；②利用代入法或加減法，把方程組中的一個方程，與另外兩個方程分别組成兩組，消去同一個未知數，得到一個關于另外兩個未知數的二元一次方程組；③解這個二元一次方程組，求得兩個未知數的值；④将這兩個未知數的值代入原方程組中較簡單的一個方程中，求出第三個未知數的值，從而得到原三元一次方程組的解。

第九章　不等式與不等式組

一、知識網絡結構



二、知識要點

1、用不等号表示不等關系的式子叫不等式，不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、在含有未知數的不等式中，使不等式成立的未知數的值叫不等式的解，一個含有未知數的不等式的所有的解組成的集合，叫這個不等式的解集。不等式的解集可以在數軸上表示出來。求不等式的解集的過程叫解不等式。含有一個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1，這樣的不等式叫一元一次不等式。

3、不等式的性質：

①性質1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(或式子)，不等号的方向 不變 。

用字母表示為：

②性質2：不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個 正數 ，不等号的方向 不變 。

③性質3：不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個 負數 ，不等号的方向 改變 。

4、解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括号；③移項；④合并同類項； ⑤系數化為1 。這與解一元一次方程類似，在解時要根據一元一次不等式的具體情況靈活選擇步驟。

5、不等式組中含有一個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1，這樣的不等式組叫一元一次不等式組。使不等式組中的每個不等式都成立的未知數的值叫不等式組的解，一個不等式組的所有的解組成的集合，叫這個不等式組的解集解(簡稱不等式組的解)。不等式組的解集可以在數軸上表示出來。求不等式組的解集的過程叫解不等式組。

6、解一元一次不等式組的一般步驟：①求出這個不等式組中各個不等式的解集；②利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個不等式組的解集。如果這些不等式的解集的沒有公共部分，則這個不等式組無解 ( 此時也稱這個不等式組的解集為空集 )。

7、求出各個不等式的解集後，确定不等式組的解的口訣：大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小無處找。

第十章　數據的收集、整理與描述

知識要點

1、對數據進行處理的一般過程：收集數據、整理數據、描述數據、分析得出結論。

2、數據收集過程中，調查的方法通常有兩種：全面調查和抽樣調查。

3、除了文字叙述、列表、劃記法外，還可以用條形圖、折線圖、扇形圖、直方圖來描述數據。

4、抽樣調查簡稱抽查，它隻抽取一部分對象進行調查，根據調查數據推斷全體對象的情況。要考察的全體對象叫總體，組成總體的每一個考察對象叫個體，被抽取的那部分個體組成總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫這個樣本的容量 。

5、畫頻數直方圖的步驟：①計算數差(最大值與最小值的差)；②确定組距和組數；③列頻數分布表；④畫頻數直方圖 。

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