抽象和推理是數學的顯著特征，與這兩個特征關聯的思想也就成為數學的核心思想，雖然抽象與推理密不可分，但是，二者對于數學發展的功能和作用各有側重：通過“抽象”把外部世界引入數學，通過“推理”促進數學本身的發展。

人們借助推理，把關系概念應用于對象概念，得到數學基本命題。一般來說，形成推理模式以後有兩個好處和一個壞處，好處是便于使用和交流，壞處是限制發展。

數學推理模式本質上有兩種，即演繹推理與歸納推理。雖然這兩種推理相互依存，但就數學結果的獲得而言，還是有所區别的。在一般情況下，人們是借助歸納推理“預測”數學結果，借助演繹推理“驗證”數學結果。因此，就推理的功能而言，預測結果和推測原因

這兩種能力依賴的推理形式是歸納推理，而不是演繹推理，雖然數學不是實驗科學，也不是經驗科學，但是，數學概念的形成依賴于經驗，數學推理的過程依賴于思維。

這一輯讨論演繹推理，這是一種形式确定、結果必然的推理。

前面我們曾讨論了數學的抽象，在這一輯和下一輯中将讨論數學的推理。很顯然，抽

象和推理都是數學的顯著特征，人們—談起數學首先想到的就是這兩個特征。所以，與這兩個特征關聯的思想也就成為了數學的基本思想。人們通過抽象，從日常生活和生産實踐中得到數學所要研究的基本概念和法則；人們通過推理，在基本概念和法則的基礎上得到數學的公式和命題。簡而言之，人們通過“抽象”把外部世界引入數學，通過“推理”促進數學本身的發展，當然，我們不可能把這兩個功能截然分開，因為抽象必然要借助推理的方法，而推理又必然要借助抽象的思維。

回憶《數學的抽象》中的讨論，人們通過抽象得到的數學的基本概念包括對象概念和關系概念。對象概念是指：數學所要研究的那些東西，比如自然數、實數、點、線、面等等；關系概念是指：表示對象之間關系的邏輯術語，這些術語具有因果、轉折、遞進、對比、補

充、選擇等功能，比如存在、相等、屬于、介于、所以等等。于是，我們可以得到數學流程的最基本形态：借助推理把關系概念應用于對象概念，得到數學基本命題。

推理是一種思維過程，在現代社會，我們談及的思維過程往往都是很複雜的，讓人望而生畏。即便如此，我們仍然希望把數學推理的思維過程條理化。關于思維過程，或者說，關于推理過程的有關問題，我們先回顧一下笛卡爾(1596-1600)的建議，他在《探求真理的指導原則》的第六個原則中說：

“要從錯綜複雜的事物中區别出最簡單事物，然後進行有秩序的研究。這就要求我們在那些已經通過演繹得到真理的推理過程中，觀察哪一個事物是最簡單項，以及觀察這個項與其他項之間關系的遠近，或者相等。”

笛卡爾非常推崇這個原則，認為這個原則是他這篇論文中最有用的，是揭示科學奧秘的基本方法。事實上，笛卡爾提倡的方法的實質就是，把要進行推理的事物排成一個系列，然後找出系列中的最簡單項進行逐項判斷。

對數學而言，笛卡爾所說的系列就是由條件出發最後得到結論的證明過程。在大多數的情況下，這個證明過程是由一些基本推理首尾連接而形成的。所謂基本推理是指由一個命題或者幾個命題出發，得到另一個命題的思維路徑，其中所謂的命題是指一種可以肯定或者否定的語句。這樣，我們就可以把基本推理解為：由一個或者幾個“是非判斷”到另一個“是非判斷”的思維路徑。其中，基本推理就是數學證明過程中的基本元素，這個基本元素可能就是笛卡爾所說的最簡單項。

因此，為了保證整個證明過程的正确性，首先必須保證基本推理的正确性，也就是通常所說的，我們必須保證基本推理符合邏輯，因為邏輯學是一門關于區分正确推理與不正确推理的原理和方法的學問。可以設想，被現代人們廣泛認同的邏輯準則，最初隻是一些符合常理的推理方法，經過日常生活和生産實踐的長期檢驗，通過歸納整理逐漸形成了準則。因此，我們在這一輯中所述說的基本推理大多數是一些已經成型了的、符合邏輯準則的推理模式。在科學技術如此發達的今天，要創造出新的、被人們廣泛認可的思維模式是一件非常困難的事情。

一般來說，形成推理模式以後有兩個好處和一個壞處。兩個好處是：便于使用和便于交流，所謂便于使用，是因為形成模式的東西是經過檢驗的，使用時不必重新考慮推理的合理性；所謂便于交流，是因為一個思維過程一旦形成模式就規範了，甚至可以形成專門的術語和符号，這便于述說和理解。一個壞處是：限制發展。一個東西一旦形成模式就難以突破，在一般情況下，人們還是習慣于因循守舊，不到不得不作為的程度，人們是不會輕易打破傳統的，因為傳統凝聚了祖先對生存環境的适應。

對于數學，本質上有兩種推理模式，一種是演繹推理，一種是歸納推理。事實上，這兩種推理模式不僅僅在數學、在自然科學，甚至在社會科學以及人們的日常生活中都是最基本的，正如愛因斯坦(1879～1955)曾經說過的：

“西方科學的發展是以兩個偉大成就為基礎，那就是：希臘哲學家發明的形式邏輯體系（在歐幾裡得幾何學中），以及通過系統的實驗發現有可能找出因果關系（在文藝複興時期）。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步，那是用不着驚奇的，令人驚奇的倒是這些發現（在中國）全都做出來了。”

愛因斯坦所說的兩個偉大成就，前者指的是演繹推理，後者指的是歸納推理。從上文中可以看到，愛因斯坦對于中國的了解是不夠的，從另一個角度也說明了，中國的學者們沒有很好地歸納整理古代賢者們的思想脈絡，使得西方的學者們不能很好地把握。我确信，中國古代如此燦爛的文化是不可能離開推理的。

關于愛因斯坦說的那兩個偉人成就，美籍華人科學家楊振甯說得更為明确，他在《我的生平》中說：

“我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度裡學習和工作，我在中國學到了演繹能力，我在美國學到了歸納能力。”

這裡的演繹能力和歸納能力分别是指使用演繹推理的能力和使用歸納推理的能力。

現在，簡單分析上述兩種推理模式在數學推理中的功能。回憶我們在《數學的抽象》中的總結：人們往往是通過直觀來預測數學的結果，然後通過證明來驗證數學的結果，其中直觀借助的推理模式主要是歸納推理，證明借助的推理模式主要是演繹推理，這樣，就可以用非常直白的語言來述說數學結果的推理的過程：從條件出發，借助歸納推理“預測”數學結果，借助演繹推理“驗證”數學結果，當然在驗證的過程中需要适當地調整“給定的條件”和“預測的結果”，我再次強調，上面的述說是針對一般情況而言的，我們不能排除有特殊情況的出現。

因此，這兩種推理模式都是非常重要的，都應當在數學教育中得到充分的重視，但是，在我們現行的數學教學中，需要論證的結果往往都是書本或者教師事先給定的，并且是一絲不差地給定的，因此，學生們的工作隻是借助演繹推理來驗證這些事先給定結果的正确性。可以看到，這樣的數學教學是不全面的，這樣的數學教育沒有培養學生通過條件預測結果的

能力，也沒有培養學生根據結果推測原因的能力，而“預測結果”的能力和“推測原因”的能力恰恰是創新能力的基礎，是不能忽視的，為此，我們必須有意識地設計一些數學的教學過程，有意識地培養學生的這兩種能力。從本質上說，預測結果和推測原因這兩種能力所依賴的思維方法是歸納推理，而不是演繹推理。

我們在這一輯讨論演繹推理，在下一輯讨論歸納推理。雖然從邏輯層面上看，似乎應當先讨論發現結果所需要的歸納推理，然後再讨論論證結果所需要的演繹推理，但是，作為一種推理形式，更便于表述的是演繹推理。我想，這也是為什麼演繹推理的模式要比歸納推理的模式更早地被總結出來的原因。對于這兩種推理模式，我們都将先讨論具體的推理方法，在對具體的方法有所了解的基礎上，再回過頭來分析推理過程中涉及的重要概念以及這些概念的内涵與外延，也就是說，我們先建立推理方法的直觀基礎，然後再嘗試地分析推理方法本身的合理性。

我們不準備讨論推理方法中的哲學問題，比如命題判斷的标準是如何存在的以及命題判斷的路徑是不是先驗的等等諸如此類的問題，因為這些問題與我們曾經用很大的篇幅讨論過的“抽象了的東西是如何存在的”這個命題是相似的，我們在其中可以找到問題的答案。數學不是實驗科學，也不是經驗科學，但是，數學概念的形成依賴于經驗，數學推理的過程依

賴于思維。雖然思維本身是無形的，但是，正如恩格斯(1820～1895)在《自然辯證法》中所談到的：

“我們的主觀的思維和客觀的世界服從于同樣的規律，因而兩者在自己的結果中不能相互矛盾，而必須彼此一緻，這個事實絕對地統治着我們的整個理論思維，它是我們的理論思維的不自覺的和無條件的前提。”

我們生活在地球上，我們是“這個”世界的産物，因此，正确的思維就是指那些能夠合同于“這個”世界的思維，能夠合同于“這個”世界已經存在了的規律的思維，因此，我們在這裡的目的就是分析：在數學的論證過程中，分析問題的思維應當如何合同于“這個”世界已經存在了的規律，就像恩格斯所說的那樣，不要使思維過程與客觀規律矛盾。

為了讨論問題的方便，我們初步定義數學中的演繹推理為：按照某些規定了的法則所進行的、前提與結論之間有必然聯系的推理。因為數學的結論大體上可以分為命題結論和運算結論，那麼針對數學的演繹推理而言，大體就可以分成兩個部分：命題推理和運算推理。

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