作者：嚴加安（中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員）

王國維在《人間詞話》中提出：“詞以境界為最上。有境界自成高格，自有名句。”他說：“有造境，有寫境，此‘理想’與‘寫實’二派之所由分。”按我理解，“造境”是以意念和想象為境，“寫境”是描寫現實的景物。王國維還把藝術家分為“寫實家”和“理想家”，并認為這兩者是相通的。他還寫道：“詩人對宇宙人生，須入乎其内，又須出乎其外。入乎其内，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其内，故有生氣。出乎其外，故有高緻。”

數學家維納說：“數學是一門精美的藝術”。我認為，數學如同詩歌，評價一項數學成就，也應以境界為上。數學上也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創造理論”，後者是“解決難題”。數學家也有“寫實家”和“理想家”之分，前者是“入乎其内”，側重應用數學；後者是“出乎其外”，側重純粹數學，但兩者是互通的。

數學與詩歌有許多共性，下面歸納為八點。

第一，數學和詩歌的源泉都是自然和社會。數學史家克萊因認為：“對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉。”

第二，數學和詩歌都追求和諧與簡潔。詩歌是力圖通過簡潔的語言和韻律，抒發詩人的情懷，表達深邃的哲理。數學的和諧是不言而喻的。至于數學的簡潔，一方面數學結果是通過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數學家追求在較少條件下推出盡可能廣泛而深刻的結論，或者力圖簡化已有結果的證明。

第三，數學中的“對偶”與詩詞中的“對仗”是異曲同工。詩詞中的“對仗”能使意境更加優美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數學中的“對偶”使得數學理論變得更加深刻，更加優美。數學中的“對偶”不隻是數學的結構和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。

第四，數學和詩歌的創作都需要直覺和想象力。所謂直覺，就是沒有經過意識推理而對某事物産生的理解和判斷。當然，任何科學和藝術的創作都需要直覺和想象力，但數學和詩歌更為突出。例如，李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源于詩人的形象思維。數學史家克萊因說：“在預測能被證明的内容時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象。”法國著名數學家龐加萊認為：“我們靠邏輯來證明，但要靠直覺來發明。”這裡的“發明”就是指提出問題和構思證明的方法。

第五，詩歌創作和數學研究都需要激情和靈感。詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把内心情感宣洩出來，作品才能打動人和感染人。對數學研究來說，激情來自于探求未知真理的好奇和對美的追求。靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識或潛意識的非邏輯式的創造性思維活動。靈感是對某一問題長期思考以後突然産生的思想火花，有時産生于全神貫注思考問題之際，有時卻是在不經意間或意識蒙胧之中。靈感有時也來源于對不同現象的類比和聯想。

第六，數學研究和詩歌創作都需要有美感。法國數學家龐加萊在《數學創造》一文中形象地描述了數學美感在數學創造過程中的作用，他說：“各種數學概念在潛意識裡碰撞組合，數學直覺從中篩選有意義的組合，進而進行創造。……潛意識做出選擇時，所用的标準便是數學的美感，數和形的和諧感，幾何學的雅緻感。”數學史家克萊因認為：“進行數學創造的最主要驅動力是對美的追求。”

第七，“創新”是數學和詩歌的共同美學準則（即評價标準）。藝術家把“創新”叫作藝術風格。例如，李白的詩“豪邁奔放，飄逸若仙”，是浪漫主義風格；杜甫的詩則“深沉蘊蓄，抑揚曲折”，是現實主義風格。對數學研究而言，創新必須是在一定科學範圍内有比較重要的意義。

第八，數學和詩歌的另一共同美學準則就是《人間詞話》中所說的“境界為上”。數學的境界包括：1）大道至簡，大美天成；2）簡潔、和諧、對稱、雅緻；3）颠覆性的創新；4）交叉、融合、統一。

下面舉幾個高境界的數學例子。首先是兩個美妙的數學公式。一是歐拉公式eiπ 1=0，它把數學裡面最基本的幾個要素全都整合在一塊了，其中1是自然數的單位，0是正負數的分界點，e是自然對數的底，π是圓周率，i是虛數單位。二是歐拉公式V F-E=2，公式表明：任何一個簡單凸多面體，它的頂點數V加上面數F，減去棱數E必定等于2。這兩個歐拉公式堪稱“大道至簡、大美天成”的數學公式。

數論中的三個著名猜想：“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶數可以表為兩個素數之和）、“孿生數猜想”（存在無窮多對素數其差等于2）和“黎曼猜想”（黎曼ζ函數所有非平凡零點都位于複平面中實部為1/2的直線上），更是高境界數學的例子，盡管它們都還沒有得到證明。又如龐加萊猜想、費爾馬大定理、四色定理、伽羅瓦群論、黎曼幾何、哥德爾不完備定理、伊藤清的随機分析、香農信息論等，這些都是屬于“簡潔、和諧、對稱、雅緻”高境界數學的例子。

20世紀50、60年代，格羅滕迪克對代數幾何進行了徹底的革命，建立了“概形理論”，堪稱一項颠覆性的創新。他因此于1966年獲得菲爾茲獎。在概形理論基礎上，數學家們取得了一系列傑出成就：1973年，德利涅證明了韋伊猜想（1978年獲菲爾茲獎）；1983年，法爾廷斯證明了莫德爾猜想（1986年獲菲爾茲獎）；1995年，懷爾斯證明了費馬大定理（1996年獲菲爾茲特别獎）。

關于“交叉、融合、統一”這一數學境界，我舉兩個例子。其一是Atiyah-Singer指标定理：緊流形上的橢圓偏微分算子的解析指标（與解空間的維度相關）等于拓撲指标（決定于流形的拓撲性狀）。其二是朗蘭茲綱領，它是将數學中某些表面上毫不相幹的領域（數論、代數幾何與約化群表示理論）建立一種本質聯系的構想。綱領是由朗蘭茲在1967年給韋伊的一封信件中提出的。法籍越南數學家吳寶珠因證明朗蘭茲綱領基本引理獲得了2010年菲爾茲獎，朗蘭茲本人獲2018年度阿貝爾獎（編者注：為紀念挪威數學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾設立的數學獎，每年頒發一次）。

我本人是研究概率論與随機分析的。我曾試圖用詩歌來解析我的專業内涵，寫過一首“悟道詩”：

随機非随意，概率破玄機。

無序隐有序，統計解迷離。

下面是我的另一首有關概率論的科學詩《随機與概率》，希望能引起大家對概率論的關注和興趣。

随機與概率

熙熙人群朋友不期而遇，茫茫宇宙隕星意外撞擊。

随機事件發生并非随意，概率破解其中奧秘玄機。

情境重複催生稀有事件，曆史長河沉澱自然奇迹。

同班同學常有生日相同，彩民兩次中獎并不神奇。

抵押貸款房産汽車按揭，精巧設計需要借助概率。

保費計算基于概率模型，期權定價有賴随機分析。

概率技巧有助破解密碼，人工智能需用概率邏輯。

日常生活常遇概率問題，學點概率知識終身受益。

《光明日報》（ 2021年12月23日16版）

來源： 光明網-《光明日報》

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