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邏輯回歸

邏輯回歸的名稱雖然裡面有“回歸”二字，但它實際上是一種分類學習方法。常見的使用場景有兩種：一是預測，二是尋找因變量的影響因素。

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線性回歸與Logistic回歸

線性回歸和邏輯回歸都是廣義線性模型的一種特殊情況。

假設有一個因變量y和一組自變量x1, x2, x3, ... , xn，當y為連續變量時，不難拟合一個線性方程：

然後采用最小二乘法估計這個方式當中的各個系數β的值。

但是，如果 y 是一個隻能取 0 或 1 值的二元變量，則線性回歸方程會遇到困難。方程的右邊是一個從負無窮到正無窮範圍内的連續值，但左邊的值則屬于[0,1]，兩邊的值不匹配。

為了克服這一阻礙進行線性回歸，統計學家想出了一種變換方法，即：将等式右邊的值變換為[0,1]。最後，選擇采用logistic函數進行變換。

logistic函數為：

它是一個取值範圍為(0,1)的s型函數，可以将任意值映射到(0,1)，并且具有無窮導數等優良的數學性質。

在變化以後，回歸方程就變為：

這樣，等式兩邊的取值範圍就都處于0和1之間了！

再進行一下Logit變換，得到：

在上面這個公式裡，可以将y看作y取值為1的時候的概率p（y=1），那麼1-y便是y取值為0的時候的概率p（y=0）。

從而能夠進一步得到：

處理變換到這裡，我們就可以回到最初的思路，通過最小二乘法估計β的值了。

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odds與OR的含義

Odds：稱為暴露比值，也稱為幾率、比值、比數，是指某事件發生的可能性(概率)與不發生的可能性（概率）之比。用p表示事件發生的概率，則：odds = p/(1-p)。

OR：稱作“優勢比”（odds ratio），也稱“比值比”，為實驗組的事件發生幾率(odds1)/對照組的事件發生幾率(odds2)，反映的是某種暴露與結局的關聯強度。

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怎麼理解OR值

上面的描述在新手看來簡直“不明覺厲”：什麼優勢？啥又是優勢比？關聯強度又是啥？

為了加深了解，讓我們結合例子來細細體會。

假設一下，如果我們想要探讨熬夜是否會導緻肥胖的發生，應該怎麼辦？

回憶一下我們初中學的做生物實驗的思路，很容易便想到：找兩組人，一組是肥胖人群，另一組則是不肥胖人群，然後，分别調查這兩組人群哪些人熬夜、哪些人不熬夜。

如果我們調查得到的情況是下面這樣的：

可以看到，肥胖組一共有40人，其中24人熬夜，16人不熬夜。我們就稱“熬夜”是一種“暴露”。

不難看出，“暴露”指代的内容非常廣泛。一般來說，有我們感興趣的元素的研究對象就可以被稱為“暴露組”；而沒有這些因素的研究對象就可以被稱為“非暴露組”。感興趣的元素可以包括各種特征（性别、年齡、教育程度等）、某個特定行為（飲酒、運動、吸煙），或接觸某個特定的物質（PM2.5等）。

至于“暴露與結局的關聯強度”，在假設的例子當中，所謂的“結局”便是“是否肥胖”，也可以理解為“因變量Y”。

那“暴露比值”在假設的例子當中意味着什麼呢？

其中，對于患有肥胖的對象，暴露比值為：熬夜的比例除以不熬夜的比例，即為：25/15 = 1.67；

同樣，在不肥胖的人群中，也可以計算一個熬夜的比例除以不熬夜的比例，即為：19/21 = 0.90。

把這兩個比例相除，就得到了熬夜與肥胖相關關系的OR值，即OR = 1.67/0.90= 1.86>1。

由此可以進行初步的推斷：熬夜會增加肥胖的風險。

總的來說，當結果出現記為1，不出現記為0時，OR值的含義可以總結為：

OR = 1，暴露與結局之間沒有相關性；

OR> 1，暴露可能會促進結局的出現；

OR<1，曝光會阻礙結局的出現。

而Logistic回歸很重要的一點在于可以直接輸出OR值，這一值甚至比直接的回歸系數（β）還更有意義。

OR值與回歸系數β的數量關系為：OR = eβ

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