等腰直角三角形的存在性問題-tft每日頭條

等腰直角三角形的存在性問題

圖文更新时间:2024-08-26 14:15:32

等腰直角三角形由于其特殊性，含45度角，直角邊與斜邊的根号2倍關系，又具有圖形的對稱美感，經常用來做題的母闆圖形。通過一些旋轉變換添加的輔助線，使得圖形變得有深度，結合所給條件思考起來，充分展示了幾何圖形的内在聯系。

已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，點D是三角形内一點，且AD=AC，CD=根号2倍BD，點O是AB的中點。求證：角CDO=90度。

等腰直角三角形的存在性問題（等腰直角三角形裡的幾何證明思考）1

要證角CDO是90度，結合圖形，即是證明角ADC與ADO之和是90度。由AD=AC，在三角形内，等邊對等角，知道角ADC=角ACD，所給三角形ABC是等腰直角三角形，即角ACD與BCD之和是90度。很自然就轉化為求角ADO與角BCD的相等。

等腰直角三角形的存在性問題（等腰直角三角形裡的幾何證明思考）2

由條件CD=根号2倍BD出發，聯想到等腰直角三角形邊的倍數關系性質，依靠線段BD構造等腰直角三角形BDE，不難得到角ABD與角CBE相等。而由AD/AB=AO/AD，公共夾角DAB，得到三角形ADO與ABD相似，所以角ADO=角ABD。

關鍵到這裡，角CBE與角BCD相等的證明如何做到呢？

三角形ABC中，AB=AC，角BAC=90度，D是AC邊外一點，E在AC上，角BDE=45度，F是CD的中點，AF交BD于點G。求證：EG垂直于BD。

等腰直角三角形的存在性問題（等腰直角三角形裡的幾何證明思考）3

又是等腰直角三角形ABC，點D在邊AC外，通過幾何畫闆的操作，知道D點也是有範圍限制的。要證EG垂直于BD，就是要證明角DGE是90度，從而知道又是個等腰直角三角形DGE。

等腰直角三角形的存在性問題（等腰直角三角形裡的幾何證明思考）4

F是CD的中點，利用三角形中位線定理，在線段GB上截取GH=DG，再來利用得到的AF平行于HC，知道角FAC與角ACH相等。到這裡，還是一團漿糊，怎麼辦呢？

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