上一講中，我們對相反數和絕對值的基本内容作了一個歸納，這一講，我們對絕對值的幾何意義作一個深入的剖析．因為在絕對值的知識點中，蘊含了許多重要的數學思想．

(1)分類讨論思想：絕對值化簡時，要根據被化簡式子的正負性來分類．

(2)整體思想：絕對值化簡時，有時需要将被化簡式子看作整體．

(3)數形結合思想：絕對值的幾何意義中，結合數軸來了解，更加簡單易懂．

——寫在前面

一、概念辨析

首先，來回憶一下絕對值的幾何意義：數軸上，表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對值．如數a的絕對值記作|a|，表示數a的點與原點的距離．

但是我們其實可以把|a|看作|a－0|，這樣就能表示為數a的點與數0的點的距離．

那麼|a－5|表示什麼呢？千萬别說成數a－5的點與數0的點的距離．而應該看成數a的點與數5的點的距離．

不能理解的同學，我們就舉最簡單的例子，數10的點與數5的點的距離是多少，你肯定是知道是10－5，那這裡隻不過把10換成了a而已，如果a比5小，加個絕對值符号，保證距離的非負性即可，這下你明白了吧．

那麼|a＋5|表示什麼呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示數a的點與數－5的點的距離．

最後，你能說出|a－b|和|a＋b|的幾何意義嗎？

二、典型例題

1.絕對值化簡求最值

例1

求|x－1|＋|x－2|的最小值．

分析：

|x－1|表示數x的點與數1的點之間的距離，

|x－2|表示數x的點與數2的點之間的距離，

|x－1|＋|x－2|表示數x的點與數1的點之間的距離與數x的點與數2的點之間的距離之和．

我們不妨在數軸上，設A、B、P三點對應的數分别是1、2、x．

當1≤x≤2時，即P點在線段AB上，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＝1；

當x＞2時，即P點在B點右側，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；

當x＜1時，即P點在A點左側，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；

解答：

綜上，當1≤x≤2時(P點在線段AB上)，|x－1|＋|x－2|取得最小值為1．

結論歸納：

若已知a＜b，則當a≤x≤b時，

|x－a|＋|x－b|取得最小值為b－a．

變式1

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值．

分析：

我們不妨在數軸上， 設A、B、C、P四點對應的數分别為1、2、3、x．

①當1≤x≤3時，|x－1|＋|x－3|＝PA＋PC＝3－1＝2，取得最小值；

②當x＝2時，|x－2|＝PB＝0，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝PA＋PB＋PC，即上面兩式|x－1|＋|x－3|與|x－2|之和，如果這兩式能同時取得最小值，那麼它們的和必然也取得最小值．

解答：

當x＝2時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|

的最小值為(3－1)＋0＝2．

變式2

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|的最小值．

分析：

我們不妨在數軸上，設A、B、C、D、P五點對應的數分别為1、2、3、4、x．

①當1≤x≤4時，|x－1|＋|x－4|＝PA＋PD＝4－1＝3，取得最小值；

②當2≤x≤3時，|x－2|＋|x－3|＝PB＋PC＝3－2＝1，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＝PA＋PB＋PC＋PD，即上面兩式|x－1|＋|x－4|與|x－2|＋|x－3|之和，如果這兩式能同時取得最小值，那麼它們的和必然也取得最小值．

解答：

當2≤x≤3時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|

的最小值為(4－1)＋(3－2)＝4．

變式3

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|的最小值．

分析：

我們不妨在數軸上，設A、B、C、D、E、P六點對應的數分别為1、2、3、4、5、x．

①當1≤x≤5時，|x－1|＋|x－5|＝PA＋PE＝5－1＝4，取得最小值；

②當2≤x≤4時，|x－2|＋|x－4|＝PB＋PD＝4－2＝2，取得最小值；

③當x＝3時，|x－3|＝PC＝0，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3＋|x－4|＋|x－5||＝PA＋PB＋PC＋PD＋PE，即上面三式|x－1|＋|x－5|，|x－2|＋|x－4|與|x－3|之和，如果這三式能同時取得最小值，那麼它們的和必然也取得最小值．

解答：

當x＝3時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|

的最小值為(5－1)＋(4－2)＋0＝6．

結論歸納：

2．絕對值化簡求定值

例3

|x＋1|＋|x－3|＝6，x＝_______．

分析：

|x＋1|＋|x－3|表示數x的點與數－1的點之間的距離與數x的點與數3的點之間的距離之和．

顯然，我們易知，當－1≤x≤3時，距離之和為4，因此，x的取值必然滿足x＜－1或x＞3．

我們不妨以x＜－1為例，結合數軸分析，設A、B、P三點對應的數分别是－1、3、x．設P、A兩點距離為a，則P、B兩點距離為a＋4，a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝－1－1＝－2，同理，當x＞3時，也可求．

解答：

x＜－1，設P、A兩點距離為a，則P、B兩點距離為a＋4，

a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝－1－1＝－2，

x＞3，設P、B兩點距離為a，則P、A兩點距離為a＋4，

a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝3＋1＝4，

綜上，x＝－2或4．

例4

|x＋1|－|x－3|＝2，x＝_______．

分析：

|x＋1|－|x－3|表示數x的點與數－1的點之間的距離與數x的點與數3的點之間的距離之差．

顯然，我們易知，當x＜－1時，距離之差為－4，當x＞3時，距離之差為4，因此，x的取值必然滿足－1≤x≤3．

我們不妨結合數軸分析，設A、B、P三點對應的數分别是－1、3、x．設P、A兩點距離為a，則P、B兩點距離為a－2，a＋a－2＝4，a＝3，則x＝－1＋3＝2．

解答：

x＝2

本講思考題

答案請私聊作者 獲取

新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要。 —— 華羅庚

在數學中，我們發現真理的主要工具是歸納和模拟。 —— 拉普拉斯

數學方法滲透并支配着一切自然科學的理論分支。它愈來愈成為衡量科學成就的主要标志了。 —— 馮紐曼

在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西。 —— 羅素宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。 —— 華羅庚

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