哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數都可寫成三個質數之和 。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明，但是一直到死，歐拉也無法證明。

因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：任一大于5的整數都可寫成三個質數之和。(n>5：當n為偶數，n=2 (n-2)，n-2也是偶數，可以分解為兩個質數的和；當n為奇數，n=3 (n-3)，n-3也是偶數，可以分解為兩個質數的和)歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。

今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a b"。1966年陳景潤證明了"1 2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。

殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數，雖然不能證明N是兩個素數之和，但足以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N=A B，其中A和B的素因子個數都不太多，譬如說素因子個數不超過10。用“a b”來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A B，其中A和B的素因子個數分别不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1 1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。

“a b”問題的推進

1920年，挪威的布朗證明了“9 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 6”。

1937年，意大利的蕾西先後證明了“5 7”, “4 9”, “3 15”和“2 366”。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 5”。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 4”。

1956年，中國的王元證明了“3 4”。稍後證明了 “3 3”和“2 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1 c”，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 5”， 中國的王元證明了“1 4”。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了 “1 2 ”。

從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。

若關于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關于奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。2013年5月，巴黎高等師範學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。

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