以下文字有對應的視頻，不想閱讀文字的小夥伴請移步至數字的故事（二）楊輝三角與路徑數量

這是一個長長的故事，讓我們一起來完成它！

（先閱讀本故事第一章體驗更佳）

在上一章我們談到了楊輝三角最基本的屬性是“每一個數字都是上一行與之相鄰的兩個數字之和”，同時我們也充分認識到這一屬性帶來的外在展現就是：楊輝三角新一行的産生來自于上一行所有數字的錯位相加。

“錯位相加”是一個法寶，接下來我們将把它運用在抛硬币這個遊戲中。

抛硬币是讨論概率問題時經常用來舉例的遊戲，因為大家都認可關于抛硬币的假設：結果中出現正面和反面的可能性是一樣的。這也就是我們所說的等概率事件。

一枚硬币抛多次和同時抛多枚硬币是一樣的。如果同時抛了 10 枚硬币，會出現 11 種不同的情況：硬币正面朝上的數量分别是 0、1、2、...、10 。我們當然知道這 11 種情形出現的概率是不一樣的。每一種情形出現的概率究竟等于多少呢？

為了回答這個問題，可以從少量硬币開始找規律。以 3 枚硬币為例，把每一枚硬币的結果都寫出來，是這樣的：

正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反

因為每一枚硬币出現正和反的概率是一樣的，所以這 8 種情形出現的概率是一樣的。統計每種情形的數量是：

3正0反-1、2正1反-3、1正2反-3、0正3反-1

這時，再多抛一枚硬币，它出現正面和反面的可能性是一樣的。這一枚硬币如果是正面，上面的統計結果就成為：

4正0反-1、3正1反-3、2正2反-3、1正3反-1

這一枚硬币如果是反面，統計結果成為：

3正1反-1、2正2反-3、1正3反-3、0正4反-1

很明顯，“合并同類項”的過程也是“錯位相加”的過程：

“錯位相加”的遊戲在上一章已經多次出現，楊輝三角每一行産生，都是上一行的數字錯位相加得到的。所以我們确定的知道，抛硬币各種情形出現的統計結果就是楊輝三角。

比如說，楊輝三角的第 8 行的各個數字就是同時抛 8 枚硬币，出現 9 種情形（反面朝上的枚數分别是 0、1、2、...、8）的統計結果。

（再次友情提醒：我們稱楊輝三角的首行為第 0 行。）

如果要表示各種情形出現的概率，我們就可以用到另一種形态的楊輝三角：

在這種形态的“楊輝三角”中，顯示了抛 n 枚硬币出現 m 枚反面朝上的概率是這樣一個分數：分母是，分子是楊輝三角的第 n 行第 m 個數字。

（友情提醒：我們稱楊輝三角的首行為第 0 行，每行的首個數字為第 0 個。）

或許有人在一些遊戲場所見過這樣的裝置：木闆上均勻地釘着上下交錯的一排排釘子，從上方空檔處放一個小球往下滾，小球将從最下方的某個空檔滾出，不同的空檔對應放置不同的獎品。

我們通常可以看到經營者會在中間空檔下面放相對廉價的獎品，兩邊空檔下面放相對高價的獎品。不管是經營者，還是參與遊戲的玩家，大家都知道，小球從中間滾出來的幾率要高于從旁邊滾出來的幾率。

與這種遊戲類似，有一種叫做“高爾頓闆”的數學玩具。玩具中有 3000 顆小滾珠，翻轉後将經過一些交錯排列的柱子滾向底部，底部有用于統計小滾珠數量的收集槽。

不論重複多少次，這 3000 顆小滾珠的去向總是形成一條幾乎一樣的曲線。

可以肯定的是，具體到某一顆小滾珠，它每次的去向都有可能不同；即便是落入同一個收集槽，它經過的路徑也不大可能是同一條。

接下來我們就聚焦一顆小滾珠，将它可能經過的柱子抽象出來，看看它可能的走向。

小滾珠掉落下來，100%會碰到第一排的柱子，我們記作，當它往下滾，碰到柱子時，假設它往左滾和往右滾的可能性是一樣的，那麼出現在下一排左右兩個柱子的概率就都是。接下來小滾珠又碰到柱子，假設它每次往左往右的可能性都是一樣的，剛才有概率在左邊的這個小滾珠出現在正對的下一排面兩個柱子上的概率就都是，同樣的道理也适用于剛才在右邊出現的小滾珠，所以中間那個柱子上小滾珠出現的概率就是。于是我們看到在第三排的柱子上，小滾珠出現的概率分别是：。按照同樣的推理方式，繼續下去，每個柱子上小滾珠出現的概率就依次是。

從上面的推理過程中，我們可以發現，最關鍵的一點在于：小滾珠在某個柱子上出現的概率是等于它上面一排相鄰兩個柱子上的概率乘以後相加的結果。

這一個關鍵的特征和楊輝三角“每一個數字是上一行相鄰兩個數字之和”的基本屬性相吻合，于是我們看到計算出來的概率結果和楊輝三角緊密聯系在一起，這就一點也不奇怪了。甚至不用特别的留意，我們就看到了楊輝三角一個明顯的特點：每一行都是中間的數字大，首尾的數字小。這當然也符合抛硬币時正反面數量接近的情形概率大，高爾頓闆往中間去的小滾珠數量多，這些直覺和分析結果是一緻的。

我們用楊輝三角某一行的數字作為縱軸數值，畫出來的曲線是這樣的，和高爾頓闆上的曲線幾乎一樣。

鐘形曲線

這就是大名鼎鼎的“鐘形曲線”，在正态分布的統計數據中處處可見。

細心的小夥伴還可以發現，在高爾頓闆的上半部分還寫有一些數字。仔細看，這些數字恰好排列成了楊輝三角。楊輝三角中的這些數字有什麼含義嗎？

将視線聚焦在一個小滾珠上，從最上面出發，如果目标是第4排的中間位置，小滾珠究竟要經過怎樣的路徑才能到達呢？這些路徑的數量是多少？讓我們一起來數一下，記錄過程中用小滾珠是向左還是向右滾動來表示不同的路徑。

我們還可以把小滾珠到達其他各個點的路徑數量都數出來。不出意料，我們會再次得到楊輝三角。這是因為小滾珠要到達某一點，必須要經過它上面相鄰的兩個點之一，而且也隻能從這兩個點之一滾過來。所以，到達此點的路徑數量必定等于上一排相鄰兩點路徑數量之和，這一特征又是和楊輝三角的核心屬性相吻合的。

于是，我們可以賦予楊輝三角中每一個數字特定的含義：楊輝三角的數字表示從頂點到達其位置的折線路徑數量。

（未完待續！）

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