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求三角函數在某區間的單調性

生活 更新时间:2025-01-09 12:07:55

求三角函數在某區間的單調性(三角函數單調區間問題的秒殺)1

前幾日在講解高三模拟試題時,遇到這樣一道題:

求三角函數在某區間的單調性(三角函數單調區間問題的秒殺)2

求三角函數在某區間的單調性(三角函數單調區間問題的秒殺)3

但是這樣解決總感覺有些小題大做。

實際上,對于這道題,我們完全可以秒殺,我們很容易判斷出函數的周期,而正弦函數的單調區間長度為周期的一半,排除A,B;同時需要加上周期的整數倍,所以排除D,進而得到答案選C。

但是這種方法總感覺太巧,又依附選項,接下來我們介紹另一種秒殺方法,甚至可以應用到填空類型。

我們知道求函數的單調區間,我們還有一種方法,觀察圖像,利用圖像,可以看出函數的單調區間,接下來,我們就利用圖像,來秒殺這類問題。

我們知道對于正弦型函數,相鄰兩個對稱軸(最值點)之間的距離是周期的一半,相鄰兩個對稱中心之間的距離是周期的一半,相鄰的對稱軸與對稱中心之間的水平距離是周期的四分之一,我們可以輕松補充函數圖像,補充一個完整的周期。如下圖:

求三角函數在某區間的單調性(三角函數單調區間問題的秒殺)4

求三角函數在某區間的單調性(三角函數單調區間問題的秒殺)5

實際上,這就是借助于正弦函數的對稱性,補充函數在某一些周期内的圖像,進而借助于函數的圖像來研究函數的諸多性質。

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