高中部分講解了及其稀少的三角恒等變換，初略翻了一遍教科書，隻論證了cos(α β)的等式變換，但實際上有許多恒等的三角變換，它們是在解決代數式替換有利的工具，本文在讀者理解cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ的基礎上論證如何得出其它的恒等式。

首先要理解三角函數是怎麼定義的，在直角坐标系的圓内一個直角三角形的斜邊長為H，θ角對應的邊為O，它的臨邊為A，則有下面的定義：

直角三角形三邊形成的比

取一個單位圓，那麼有：

單位圓上某點的坐标與角的關系

現在假定你已經有平面向量的基本知識，即矢量的數量積（點積）和矢量投影的概念，就可以很容易證明cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ。如圖：在單位圓中設OM，ON的向量為u，v，根據向量的點積定義

u.v=（i cosα j sinα）(i cosβ j sinβ)

= cosα cosβ sinα sinβ （1）

又因為根據u.v的物理意義代表力u（假設u是力）在v方向所作的功，隻有餘弦方向才做功，因此

u.v=IuI.IvIcos(α-β), 由于IuI=IvI=1. （2）

所以（1）=（2），故證明了cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ （3）

單位圓兩個矢量半徑

現在我們根據（3）來陸續推導其它三角公式。首先要有一些基本的誘導公式,如下圖：.

三角誘導公式

現在用誘導公式和(3)推導cos(α β)的公式

cos(α β)=cos［α (-β)］= cosα cos(-β) sinα sin(-β)= cosα cosβ-sinα sinβ

同理利用誘導公式可推導正弦的差和公式

sin(α β)= cos［(π/2-α)-β］=cos(π/2-α)cosβ sin(π/2-α)sinβ=sinα cosβ cosα sinβ

利用這種方法大家推導其它的兩個角的和差恒等變換，這裡給出公式：

和積公式

由上式很容易推導出倍角公式：

倍角公式

有時候還會用到由倍角變成單角的三角變換：

單角公式

由上面公式很容易求得半角公式，隻要令θ=α/2帶入即可：

半角公式

另外還會遇到積化和差的問題,這裡給出一個推導過程:

其它自己按上述方法可證如下積化和差的公式：

積化和差

将上式中的α用（α β）/2代替, β用（α-β）/2代替後帶入積化和差公式可得和化積差公式：

和化積差

至此我們已經列出了課本中沒有列出的三角恒等式，我們利用誘導公式和證明得出的cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ推導出了一系列公式，它們不需要死記硬背，忘了可以自己推導。

最後為了幫助大家記住cos(α β)=cosα cosβ-sinα sinβ 和sin(α β)=sinα cosβ cosα sinβ，講個用聯想的記憶方法。

說的是小明學習不用心，沒有學好三角變換，挨了老師的訓，東北話叫挨摳（即摳賽因cosin=cos）心情比較抑郁，一天沒吃飯，減掉了很多肉（即cos(α β)展開的中間用減号）。後來老師教他方法怎麼推導和記憶，他很快就學會了，他在操場上曬陽光（賽因sin開頭），心情非常愉快，當天飯也吃多了，體重也增加了（即sin(α β) 展開的中間用加号）。

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