在信号處理領域，有時候我們把信号放到頻域進行分析，比時域更加直觀且有用，但是一個信号如果傅裡葉變換存在，必須要滿足狄利赫裡條件：
1）、函數在任意有限區間内連續，或隻有有限個第一類間斷點；
2）、在一個周期内，函數有有限個極大值或極小值；
3）、x(t)絕對可積；
特别是第三條絕對可積這一條件，就把大多數信号拒在傅裡葉變換的門外。
為了讓不滿足絕對可積的信号也能進行傅裡葉變換，就引入了拉普拉斯變換，其主要思想是在原信号上乘上一個快速衰減的函數，這樣原本不滿足絕對可積的函數就能夠滿足絕對可積的條件。
數學描述為：
其中e-at就是為了保證絕對可積而乘上的衰減函數。所以傅裡葉變換是拉普拉斯變換的特例，即傅裡葉變換是拉普拉斯變換在複平面實部等于0時的拉普拉斯變換。
下面我們以正弦信号為例，來說明正弦信号的拉普拉斯變換和傅裡葉變換的關系。當取拉普拉斯變換的實部為0時，可以畫出其結果就是正弦信号的傅裡葉變換。
例如信号x(t)=e-atu(t),那麼它的傅裡葉變換在a>0時收斂，或者說當a>0時，信号x(t)的傅裡葉變換才存在。
那麼其拉普拉斯變換如下所示：
于是可以得到信号x(t)的S變換如果存在需要：
從而正像傅裡葉變換不是對所有的信号都收斂一樣，拉普拉斯變換也可能隻對Re(a jw)的某些值收斂，其他情況下則不收斂。
首先，一個離散信号的Z變換的定義為：
同樣離散傅裡葉變換和z變換之間也存在一些關系，現将複變量z用極坐标可以表示成：
其中r表示z的模，而用w表示其相位，故z變換還可以表示為：
故序列x[n]的z變換可以看出是信号x[n]r-n的傅裡葉變換，指數加權信号可以随n增加而增加或減小，這取決于r是否大于1。特别當r=1時，就是傅裡葉變換。
在z平面上，這個半徑為1的圓成為單位圓，這個單位圓非常類似于s平面上虛軸在拉普拉斯變換中所說的作用。
同樣為了使x[n]r-n的傅裡葉變換存在，也存在一個r值的區間，這個區間成為z變換的收斂域。
考慮一個序列x[n]=anu[n]，那麼其z變換為：
為了使x(z)收斂，就需要滿足：
得到|z| >|a|就是其收斂域。
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