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線性代數兩個矩陣相似的充要條件

生活更新时间:2024-07-20 00:10:48

相似矩陣，顧名思義，就是指存在相似關系的矩陣

一般來說，我們設A、B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B

那麼我們就稱A、B為相似矩陣

那麼相似矩陣有哪些特性呢

一、反身性，A和A相似，那當然，A本來就是A，怎麼可能不相似呢

二、對稱性，這個也不用考慮太多，A和B相似，那B當然和A相似了

三、傳遞性，如果矩陣A和矩陣B相似，矩陣B又和矩陣C相似，那自然而然矩陣A和矩陣C相似

四、如果A和B相似，那麼兩者的秩、行列式的值都是相等的

五、也是比較重要的一點，兩個矩陣相似，說明兩個矩陣的特征值相等

話不多說，先給出一道實際例題來理解一下

線性代數兩個矩陣相似的充要條件（線性代數中遇到求相似矩陣的題目怎麼做）1

圖一

類似這道題，給出三個矩陣，讓你判斷這些矩陣是否相似

那麼正如我在圖中标出的那樣，判斷矩陣相似的關鍵點就在于特征值、特征向量和齊次方程組

為什麼我會提到齊次方程組，原因有兩點

其一，這三個矩陣的特征值都相等，那麼就不能夠簡單的按照特征值來判斷，要借助特征向量

其二，既然要借助特征向量，那麼就要用到齊次方程組來求解，形如(2E-A)x=0這種

如圖所示，就是詳細的解釋

線性代數兩個矩陣相似的充要條件（線性代數中遇到求相似矩陣的題目怎麼做）2

圖二

除了這道題，我還想給出另外一道題，也是特征值都相等的情況下，讓我們判斷矩陣是否相似

而且這道題有一個特殊之處，在于這些矩陣都不能夠相似對角化

這種題目就比較麻煩了，是隻能夠通過判斷有幾個線性無關的特征向量來解決了

線性代數兩個矩陣相似的充要條件（線性代數中遇到求相似矩陣的題目怎麼做）3

圖三

總的來說，判斷矩陣是否相似，關鍵在于基礎部分，特征值和特征向量尤其重要，注意！

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