從大的時事新聞，近期美股熔斷，油價暴跌，給我們帶來什麼影響？可以說牽一發動全局，業内人士測算，油價每下行10美元，中國企業和居民将節省開支1070億元。以疫情下最為緊缺的醫用口罩為例，其核心上遊原材料聚丙烯将直接受益于油價下降，帶動口罩原材料生産成本的降低。中國正面臨一定的通脹壓力，以及海外疫情局勢的不确定性的影響，國際原油價格下跌有利于中國釋放内部壓力，為恢複經濟發展赢得時機。

從小的方面，我們數學學習，更過地方也涉及到牽一發動全局的狀況。如近幾年各地中考試題中，雙曲線與幾何圖形的綜合問題，已然成為中考的熱點題型之一，解決這類問題的關鍵是抓住問題中的關鍵"點"（雙曲線與圖形的交點），利用這個"點"在幾何圖形中的位置，牽一發動全局的觀點，并結合幾何圖形的性質即可順利解題。下面舉例說明此類問題的解法.

1．（2019•蚌埠二模）如圖，直線y＝﹣2x 2與x軸y軸分别相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線y＝k/x在第一象限經過點D．則k＝_____．

【分析】作DE⊥x軸，垂足為E，連OD．證出△BOA≌△AED，得到AE＝BO，AO＝DE，從而求出S△DOE，根據反比例函數k的幾何意義，求出k的值．

【解答】：作DE⊥x軸，垂足為E，連OD．

∵∠DAE ∠BAO＝90°，∠OBA ∠BAO＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，

又∵∠BOA＝∠AED，AB＝DA，∴△BOA≌△AED（HL），∴OA＝DE．

∵y＝﹣2x 2，可知B（0，2），A（1，0），∴OA＝DE＝1，

∴OE＝OA AE＝1 2＝3，

∴S△DOE＝1/2•OE•DE＝1/2×3×1＝3/2，

∴k＝3/2×2＝3．故答案為：3．

3．（2018•鄂州一模）如圖，一次函數y＝ax b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數y＝k/x的圖象相交于C，D兩點，分别過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F，連接CF，DE．有下列五個結論：

①△CEF與△DEF的面積相等； ②△AOB∽△FOE；

③△DCE≌△CDF；④AC＝BD； ⑤tan∠BAO＝a

其中正确的結論是_______．（把你認為正确結論的序号都填上）

∴△CEF的面積＝△DEF的面積，故①正确；

②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，

∴EF∥CD，∴FE∥AB，∴△AOB∽△FOE，故②正确；

③BD∥EF，DF∥BE，∴四邊形BDFE是平行四邊形，

∴BE＝DF，而隻有當a＝1時，才有CE＝BE，

即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；故③錯誤；

④∵BD∥EF，DF∥BE，

∴四邊形BDFE是平行四邊形，∴BD＝EF，

同理EF＝AC，∴AC＝BD，故④正确；

⑤由一次函數y＝ax b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，

易得A（﹣b/a，0），B（0，b），則OA＝b/a，OB＝b，∴tan∠BAO＝OB/OA＝a，故⑤正确．

正确的有4個：①②④⑤．故答案為：①②④⑤．

4．（2020•龍泉驿區模拟）如圖，一次函數y＝kx b（k≠0）與反比例函數y＝a/x（a≠0）的圖象在第一象限交于A，B兩點，A點的坐标為（m，6），B點的坐标為（2，3），連接OA，過B作BC⊥y軸，垂足為C．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）在射線CB上是否存在一點D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D點坐标．

【分析】（1）先利用待定系數法求出反比例函數解析式，進而确定出點A的坐标，再用待定系數法求出一次函數解析式；

（2）分兩種情形分别讨論求解即可解決問題．

【解答】：（1）∵點B（2，3）在反比例函數y＝a/x的圖象上，

∴a＝3×2＝6，∴反比例函數的表達式為y＝6/x，

∵點A的縱坐标為6，

∵點A在反比例函數y＝6/x圖象上，∴A（1，6），

∴2k b=3, k b=6，∴k=-3,b=9，

∴一次函數的表達式為y＝﹣3x 9；

（2）如圖，①當∠OD₁A＝90°時，設BC與AO交于E，則E（1/2，3），

∴AE＝OE＝D1E＝√37/2，

∵E（1/2，3），∴D₁的坐标為（1/2 √37/2，3）；

②當∠OAD₂＝90°時，可得直線AD₂的解析式為：y＝﹣1/6x 27/6，

當y＝3時，x＝19，∴D₂的坐标為（19，3），

綜上所述，當△AOD是直角三角形，D點坐标為（1/2 √37/2，3）或（19，3）

5．（2019秋•順德區期末）已知一次函數y＝kx﹣（2k 1）的圖象與x軸和y軸分别交于A、B兩點，與反比例函數y＝﹣(1 k)/x的圖象分别交于C、D兩點．

（1）如圖1，當k＝1，點P在線段AB上（不與點A、B重合）時，過點P作x軸和y軸的垂線，垂足為M、N．當矩形OMPN的面積為2時，求出點P的位置；

（2）如圖2，當k＝1時，在x軸上是否存在點E，使得以A、B、E為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點E的坐标；若不存在，說明理由；

（3）若某個等腰三角形的一條邊長為5，另兩條邊長恰好是兩個函數圖象的交點橫坐标，求k的值．

【分析】本題是反比例函數綜合題題，考查了反比例函數的性質，一次函數的性質，矩形的性質，相似三角形的性質，等腰三角形的性質，利用分類讨論思想解決問題是本題的關鍵．

【解答】：（1）當k＝1，則一次函數解析式為：y＝x﹣3，反比例函數解析式為：y＝﹣2/x，

∵點P在線段AB上∴設點P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，

∴PN＝a，PM＝3﹣a，

∵矩形OMPN的面積為2，∴a×（3﹣a）＝2，∴a＝1或2，

∴點P（1，﹣2）或（2，﹣1）

（2）∵一次函數y＝x﹣3與x軸和y軸分别交于A、B兩點，

∴點A（3，0），點B（0，﹣3）

∴OA＝3＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3√2，

∵x﹣3＝﹣2/x,∴x＝1或2，

∴點C（1，﹣2），點D（2，﹣1）

6．（2019秋•臨海市期末）如圖1，直線y＝x與雙曲線y＝3/x交于A，B兩點，根據中心對稱性可以得知OA＝OB．

（1）如圖2，直線y＝2x 1與雙曲線y＝3/x交于A，B兩點，與坐标軸交點C，D兩點，試證明：AC＝BD；

（2）如圖3，直線y＝ax b與雙曲線y＝k/x交于A，B兩點，與坐标軸交點C，D兩點，試問：AC＝BD還成立嗎？

（3）如果直線y＝x 3與雙曲線y＝k/x交于A，B兩點，與坐标軸交點C，D兩點，若DB DC≤5√2，求出k的取值範圍．

【分析】本題考查反比例函數綜合題，考查了反比例函數的性質，一次函數的性質，平行四邊形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．

【解答】：（1）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，連接EF，AF，BE．

∵AE∥y軸，∴S△AOE＝S△AEF＝3/2，

∵BF∥x軸，∴S△BEF＝S△OBF＝3/2，∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，

∴四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形，

∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．

（2）如圖1中，如圖1中，作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，連接EF，AF，BE．

∵AE∥y軸，∴S△AOE＝S△AEF＝k/2，

∵BF∥x軸，∴S△BEF＝S△OBF＝k/2，

∴S△AEF＝S△BEF，∴AB∥EF，

∴四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形，

∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．

（3）如圖2中，

∵直線y＝x 3與坐标軸交于C，D，∴C（0，3），D（3，0），

∴OC＝OD＝3，CD＝3√2，

∵CD BD≤5√2，∴BD≤2√2，

當BD＝2√2時，∵∠CDO＝45°，∴B（1，2），此時k＝2，

觀察圖象可知，當k≤2時，CD BD≤5√2.

以坐标系為橋梁，運用數形結合思想。縱觀最近幾年的壓軸題，絕大部分都是與坐标系有關的，其特點是通過建立點與數即坐标之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數問題的解答。

圖形與雙曲線的綜合題的重要組成部分是交點，這是惟一能溝通它們的要素，應用交點時應注意，交點既在圖形上也在雙曲線上，交點坐标既滿足圖形特征也滿足雙曲線的解析式．

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