簡單枚舉法

知識要點:

一個問題中，如果有優先的幾種可能的情況,往往需要将這些可能的情況全部列舉出來，逐個進行讨論。這種方法就稱為枚舉（或窮舉）

枚舉時，應注意考慮要全面，不要遺漏。

枚舉時，還應注意如下分類，分類的标準不同，情況也不一定相同，讨論的過程也會有差異。

典例評析

例1

從1～50這50個自然數中選取兩個數字，使它們的和大于50，共有多少種不同的取法？

【分析】取法有很多，找到規律使數法簡單且不重複不遺漏是解題的關鍵

解 若兩數中較大的是50，則另一個可以取1,2,3，…，49，共49種取法；

若兩數中較大的是49，則另一個可以取1,2,3，…，48，共47種取法；

若兩數中較大的是48，則另一個可以取1,2,3，…，47，共45種取法；

……

若兩數中較大的是26，則另一個隻能取25，共1種取法。

因此共有1 3 5 … 47 49=625種取法。

說明 在運用枚舉法時，一定要找出問題的本質，按照一定的規律去設計枚舉的形式。

【思考1】從1～50這50個自然數中選取兩個數字，使它們的和不大于50，共有多少種不同的取法

600種。取法共有2 4 6 …… 46 48=600.

例2

求證：若整數n不是5的倍數，則n2也不是5的倍數。

【分析】不是5的倍數的數可以除以5的餘數分為4類，按4類來讨論。

證明：不是5的倍數的數可以除以5的餘數分為4類，設為5k 1、5k 2、5k 3、5k 4（k為整數），

① n=5k 1時，n2=5（5k2 2k） 1，不是5的倍數；

② n=5k 2時，n2=5（5k2 4k） 4，不是5的倍數；

③ n=5k 3時，n2=5（5k2 6k 1） 4，不是5的倍數；

④ n=5k 4時，n2=5（5k2 8k 3） 1，不是5的倍數。

∴若整數n不是5的倍數，則n2不是5的倍數。

說明 本題體現了在枚舉法裡常見的思路：分類考查，要注意分類的科學性。

【思考2】除以4餘1的兩位數共有幾個？

22個

令這樣的數為4k 1（k為整數），隻要令其值在10到99之間就可以了。則k=3,4,5…23,24。共22個。

例3 ：

今有一角币1張、貳角币1張、伍角币1張、一元币4張、五元币2張。這些紙币任意付款，可以付出多少種不同數額的款？

【分析】本題如直接枚舉，情況複雜，很難求出正确答案。我們可以先考慮付款的數額範圍，在此範圍内，再考慮那些不能構成的付款數額，将其剔除。

由題意，付款的最小數額為1角，最大數額為14.8元。其間1角的整數倍共有148種款額。另一方面，4角、9角，這兩種數額是這些錢币無法付出的，所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元，這些數額也無法付出。上述這些付不出的數額共29種，應剔除。所以能付出的數額應是148-29=119（種）。

說明 本題采用逆向思維，把本來比較複雜的正面枚舉改為較簡單的反面枚舉。這是我們做題時的常見的策略。

【思考4】把4位數x先四舍五入到十位，所得之數再四舍五入到百位，所得之數再四舍五入到千位，恰好得到2000，則x的最小值和最大值是多少？

最小值是1445，最大值是2444. 可以倒過來想，要是x最小，千位必為1，百位為4，十位為4，各位最小為5即可。同理可以退出最大值。

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