自從我努力将所學知識以動圖的形态呈現給大家之後，我驚喜的發現我對知識點的理解變得更加的透徹了。這難道就是：

予人玫瑰，手留餘香！

泰勒公式是非常非常重要的一個工具，同時也是不容易理解消化的知識點。如果你認為這篇文章講解的好，請分享給身邊的大學生，不管是親戚、朋友。

cos(x)

當我們仔細觀察 g(x) = cos(x) 函數的時候，當 x = 0 處的圖形和抛物線的圖形（紅色）相似度極高。

紅色抛物線的公式可表示如下：

抛物線公式

當 x = 0 時，g(0) = cos(0) = 1。 我們的目的是将抛物線 f(x) 和 cos(x) 的圖形盡量逼近。那麼，在 x = 0 時， f(0) = g(0) = 1。

x = 0處值

圖1：抛物線變換（一）

上圖所示，在我們定下 c = 1的情況下，第二項中 a 的值将會對抛物線在 x = 0 處切線斜率産生影響。cos(x) 在 x = 0 出的圖形切線斜率為 0（紅線所示）。自然，我們也需要将抛物線在 x = 0 處切線斜率逼近 0。

切線的斜率 = 切線函數的一階導數

一階導數

我們需要保證 f(x) 和 g(x) 在 x = 0 處的切線斜率相等，那麼 a = 0。

圖2：抛物線變換（二）

上圖所示抛物線公式中 b 對于圖形形狀的影響。二階導數是個很抽象的概念，有的表達式 切線斜率的變化率。這并不方便記憶，所以我們可以結合導數的物理意義來幫助記憶。

• 路程 S 的一階導數對應 速度 V；
• 路程 S 的二階導數對應 加速度 α；

圖3：抛物線變換（三）

我們分别在兩個圖形上定兩個小球，由于兩個圖形的一階導數（速度）為0，也就是初始速度都是0。之後，我們可以清楚的看到，紅色曲線上的小點運動加速度要大于藍色曲線上的小點。這就是 抛物線公式中 b 對整體的影響。

知道這一點後，我們就可以通過二階導數相等去求出 b 了。

二階導數

如上所示，2b = -1, b = -0.5。

所以抛物線的方程可以如下表示：f(x) = 1 - 0.5 * x^2

圖4：抛物線變換（四）

我們得到了 cos(x) 在 x = 0 處的泰勒公式近似公式，那麼是不是可以用該公式求cos(x)的近似值呢？

• 當 x = 0.1時：

cos(0.1) = 0.995994165

1 - 0.5 * x^2 = 0.995

• 當 x = 0.5時：

cos(0.5) = 0.877582562

1 - 0.5 * x^2 = 0.875

我們發現，當 x 的取值離 x = 0 越來越遠，則誤差越來越大。從圖4中也能看出，藍色和紅色小球之間的距離越來越遠。

這不代表我們的公式有問題，是因為我們的公式推導過程本身就是基于 x = 0 附近的點的近似求解。自然 x 的值裡0點越遠越不準。

那麼怎麼樣提高精度呢？我們可以不斷的在公式後面增加更高次幂的式子。

我們一起來看看我們不斷增加高次幂之後，兩個圖形的重合度有什麼變化吧。

圖5：抛物線變換（五）

在 x 取别的值的時候，我們依然可以按照上述過程進行泰勒展開。當我們 在 x = π 的時候做泰勒展開，圖形會如圖6般美妙。

圖6：抛物線變換（六）

泰勒公式通式：

泰勒公式

圖7：泰勒公式幾何意義

那麼，藍色、紅色和綠色的面積分别為多少呢？

也就是說，泰勒公式中

• 第一項為藍色的面積區域；
• 第二項為紅色的面積區域；
• 第三項為綠色的面積區域；
• 依次類推，不斷增進精度。

理解知識才能熟練掌握，而将數學、幾何和物理融會貫通才能所向披靡。

這麼辛苦寫了這篇文章，不關注點贊就過分了啊。

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