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NO. 144

加法豎式

在上圖的加法豎式中，不同的字母代表不同的數字，問一共有幾種可能？

問題分析解答

本題答案為512。需要注意的是，由于題面是四位數加法，所以按照一般習慣，0不能出現在千位，但可以出現在其他數位。

由于和的四位數字都相同，不妨從 X 入手讨論：

1、考慮千位，顯然X不可能是1、2。

2、如果X=3，那麼A和E隻能是1和2，且沒有進位，這樣B和F沒法選，所以不行。

3、如果X=4，和的數字和為16，除以9餘7，兩個加數的數字和也要除以9餘7，考慮0-9去掉4後數字和為41，那麼加數的數字和隻能是34，即不可能有7。

然後考慮個位，D加H要麼是4，要麼是14。

如果是4，D和H必須是1和3，這樣C加G必須是14，進而B加F是3或是13，但可以發現這樣不行。

如果是14，C加G可能是3、13，很明顯13不行，所以必須是3，然後B加F隻能是14，A加E是3。

這樣我們就把8個數字分成4組，（0，3）、（1，2）、（5，9）、（6，8），且和為3的必須出現在千位和十位。

計數的時候，我們先考慮數組的位置選擇，（0，3）隻能在十位，（1，2）隻能在千位，（5，9）、（6，8）位置可互換，有兩種情況。

再考慮每個數組的兩個數也可互換位置，這樣會産生2的四次方，即16種可能，共計32種可能。

4、如果X=5，同上一種情況類似，要把2去掉，同理剩下8個數字隻能分成以下4組，04、13、78、69，且和為4的必須出現在千位和十位。

接下來和上一步完全一樣，也是32種可能。

5、如果X=6，需要去掉的數字恰好是6，這樣剩下9個數字無法處理，故無解。

6、如果X=7，需要去掉1，再考慮8和9都大于7，所以它們得到的和必然産生進位，即要麼産生16，要麼産生17，16顯然不可能，所以8和9必須一組，且不能在千位。

這樣由于産生了進位，結合剩餘數字都比較小來看，8和9前面的數位和隻能是6，其他兩組的和隻能是7。

于是我們可以把這8個數字分成（0，6）、（2，5）、（3，4）、（8，9）四組，其中（0，6）和（8，9）相鄰，且（0，6）在前，即（0，6）可以選擇百位或十位，兩種可能。（2，5）、（3，4）選擇剩下的兩個數位，由于可以互換，共兩種可能。計有4種可能。

再考慮每個數組的兩個數也可互換位置，這樣會産生2的四次方，即16種可能，共計64種可能。

7、如果X=8，需要去掉5，然後考慮9，顯然9必須和其他數字組成18或17，但這不可能，所以無解。

8、如果X=9，需要去掉0，由于其他數字不存在相加等于19的可能，所以不存在進位，隻能分成（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）四組，考慮四組位置可任意，計有4！=24種可能。

再考慮每個數組的兩個數也可互換位置，這樣會産生2的四次方，即16種可能，共計384種可能。綜上所述，X取值共4種情況，其中等于4有32種，等于5有32種，等于7有64種，等于9有384種。以上總計512種。

題友解答精選

◎題友 @李骁的解答：

加法豎式這道題将進位的魅力體現得淋漓盡緻，最容易想到的當然是X=9時，18，27，36，45的搭配，一共有4×3×2×2*4=384（種），但是除了不進位的情況，還有進位的情況，考慮A～X為9個不同的數字，所以XXXX至少從3333開始，逐一讨論，發現XXXX=4444時，有3，14，3，14滿足條件3=1 2，3=0 3，14=5 9，6 8；XXXX=5555時，有4，15，4，15滿足條件，4=1 3，0 4，15=6 9，7 8；XXXX=7777時，有7，7，6，17和7，6，17，7兩種情況滿足條件，7=2 5，3 4，6=0 6，17=8 9，所以一共有（2 2 4 4×3×2）×2*4=512（種）

◎題友 @劉斌的解答：

因為一般習慣，假設最高位不能是0。 x=9時,1 8,2 7,3 6,4 5都是9,所以可交換，所以有4!*16=384組解。 x=8,6,3,2,1,均無解(略) x=7時，34,25,06,89組合可以有解。有4*16組解。 x=5時，必須借助進位。13,04,69,78組合，有32組解。 x=4時，借助進位。12,03,59,68組合。有32組解。 所以共有512組解。

本期答案整理：老王 編輯：子曰

感謝各位題友的積極參與，下期再見！

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