題目為：

已知：如圖，△ABC中,AB=AC,D,E,F在三邊BC,CA,AB上且DFAE為平行四邊形。圓ABC,圓AEF交于A,G,DE交圓AEF于K。M,L在圓AEF,ABC上且LG⊥GK,MG⊥CG.P,Q為△DGL,△DGM外心。

求證：A,G,P,Q共圓。（2018年中國國家隊選拔考試4-3）

思路分析：

此題顯然是前面的問題的進一步深化，

此圖形結構我還是比較熟悉的。所以

基本思路是

首先按順序作出準确圖形，

并了解各個元素的生成過程。

然後分析圖形的基本性質，

設△ABC,△EF外心為O,O',

AD中點為H,

在前面結論的基礎上，可以得到：

1、O在圓O'上且為EF弧的中點，故

O'HO共線且為EF中垂線；

2、EF為DG中垂線，從而P,Q,H均在EF上；

3、GAEF為等腰梯形；

4、OP為GL中垂線，O'Q為GM中垂線；

其次我們從結果入手開始分析，

由前面結論得到GAQP為梯形，

故欲證GAQP四點共圓，

即證GAQP為等腰梯形，

即證HP=HQ即可。

圖形還是比較複雜的，看起來沒有頭緒。

下面我們希望能充分利用已知條件，

通過消點簡化圖形。

此題中最關鍵的顯然是描述清楚Q、P。

已得Q、P在EF上，還需要一個條件。

圖形中最“讨厭”的顯然是點M、L，

由他們才能确定圓心Q、P，

由LG⊥GK及OP⊥GL知OP//KG,

這樣我們就能通過OP//KG确定P，就能消去點L了，

同理O'Q//CG,這樣就能消去心腹大患——點M、L了，

這個思路應該是有希望的，從而我們

消去M、L得到下圖。

這樣一來本題轉化為：

已知：如圖，AB=AC,D,E,F在三邊上且DFAE為平行四邊形。

H為AD中點，O,O'為△ABC,△AEF外心，

P,Q在EF上，且O'Q//CG,OP//GK,

求證HP=HQ。

下面的思路當然是“得寸進尺”，

希望能利用條件中的O'Q//CG及OP//GK,

進一步消去點P、Q。從而繼續簡化圖形。

自然的思路是将HP=HQ轉化為∠OPH和∠O'QH之間的關系。

設EF交GC,GK于T、S，顯然

HP=HQ

<=>tan∠OPH/tan∠O'QH=HO/HO'

<=>tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'

這樣就能如願的消去P、Q得到下圖，

在此圖中，

我們隻需證明tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'，

連接O’E,OE,

顯然HO/HO'=tan∠EO'H/tan∠HOE，

從而需證

tan∠GSN/tan∠GTN=tan∠EO'H/tan∠HOE,

最好得結果是比例中的兩對角能對應相等。

這确實是可以通過倒角證明的。

這是因為

∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠A=∠EO'H,

而∠GTN=∠AGC=∠ABC=90°-0.5∠A=∠EOH,

從而成立。

這樣我們就通過消點法，先消去M、L，再消去P、Q，

最後通過倒角及簡答的計算完成了最終證明。

下面我們将上述證明整理出來，将其中的跳步補上，

并隻用倒角、全等、相似等基本知識證明清楚其中的關系。

叙述如下：

證明：

設△ABC,△EF外心為O,O',AD中點為H,

依題意顯然△OAB≅△OCA,

又BF/FA=BD/DC=AE/EC,

則F、E為全等對應點，

故∠BFO=∠AEO,

則AFOE共圓，

故O在圓O'上且為EF弧的中點。

則O'HO共線且為EF中垂線；

又OO'⊥AG,

則GAEF為等腰梯形。

則GF=AE=DF且GE=AF=ED,

故EF為DG中垂線，

從而P,Q,H均在EF上；

又由LG⊥GK及OP為GL中垂線，

知OP//GK，

同理O'Q//CG。

則∠HPO=∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠BAC=∠EO'H,

∠O'QH=∠GTN=∠AGC=∠ABC

=90°-∠BAO=90°-∠HEO=∠EOH,

故tan∠HPO/tan∠O'QH=tan∠EO'H/tan∠EOH

即HO/HP*HO'/HQ=HO/HO',

故HP=HQ，

故GAQP為等腰梯形，

則GAQP共圓。

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