數字是我們一直在使用的東西，但我們很少注意到不同類型的數字，也沒有想過它們的曆史。日常生活中最常見的數字是數學家們正式稱為自然數的東西。這些是非負數，即0、1、2、3、4等。在數學界有一些争論，0是否應該被包括在自然數的集合中。一般來說，這取決于你是一個數論家，還是在數學其他領域的工作者。自然數是用字母N表示的。

有一些我們使用的數字是生活在自然數之外的。我們經常遇到的另一個更大的集合是整數，包括正整數，零，以及負整數。整數集的符号是Z，來自德語的Zahlen。我們可以看到，自然數包含在整數中。當人們意識到他們無法用現有的數字做一些基本的算術時，創造整數就很有必要了，例如用5減去10。

擴大數字領域的下一步是添加分數（或小數）。同樣，這是數字系統發展的一個邏輯步驟，因為我們顯然需要一種方法來用數字解釋一個整體的一部分。将分數加到整數集上得到的集合就是有理數。它們用Q來表示，這個符号來源于意大利語的quoziente，意思是 "商"。(商是分數的另一種叫法，有分子和分母的東西，即形式為x/y的東西，其中x和y是數字）。另外，理性來自于比例這個詞，與分數密切相關。

我們現在已經有了三種數字系統，自然數、整數和有理數，這已經是能夠滿足我們日常算術需要的所有數字了。然而，對于一個科學家來說，這些數字是不夠的。自古巴比倫時代起，人們就知道需要一個特殊的數字來計算一個圓的長度（或周長）。我們今天使用的公式是數字的兩倍乘以圓的半徑。求圓周率的第一個公式可以追溯到古巴比倫。那時，他們首先通過計算半徑的平方并将其加到自己身上兩次來計算面積。這讓他們想到，應該存在一個數值在3左右的常數，用來計算面積和周長。我們今天知道的的實際值是3.14左右。

如今，已經成為數學的符号之一。在一些比賽中，人們試圖記住并背誦盡可能多的數字，将人腦的極限推到了我們想象不到的地方。3月14日甚至還有一個國際圓周率日，以慶祝這個數字（也是人們吃派的一個借口）。

然而，并不屬于我們上面定義的任何一種數字集，它既不是一個整數，也不能用分數表示。π的物理性的第一個證明是在1760年代由喬納森-海因裡希-蘭伯特（Jonathan Heinrich Lambert）完成的，他是一位德國數學家、物理學家、哲學家和天文學家。這表明了另一個更大的數字集的存在。我們稱這些數字為無理數，這個名字與有理數相對，也就是說，它們不能以分數（或有限小數）的形式表示。然而，它們不能獨立存在，所以數學家不得不定義一個由有理數和無理數組成的更大的數集。我們稱它為實數。實數的集合用R表示。此外，無理數包括有理數的所有根集，以及其他著名的數字如e。

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再次看來，數學家們通過定義實數集，已經擁有了他們需要的一切。然而，還缺少最後一塊。沒有任何數字在平方後會得到一個負數。如果我們将一個正數平方，我們得到一個正數。如果我們将一個負數平方，我們還會得到一個正數，因為負數乘以負數就是正數。因此，數學家們引入了一個新的數字，表示為i，其定義是它的平方是-1。這就産生了被稱為 "虛數 "的新類型的數字，表示為I。16世紀中葉，當科學家們需要了解多項式方程的解法時，首次想到了對這種數。然而，直到1637年，勒内-笛卡爾才創造了虛數這個詞。因此，一個新的基本數集被引入，稱為複數ℂ。一個複數有兩個部分，實數部分和虛數部分。數學家把複數寫成a bi，其中a和b是實數。這種表示方法告訴我們，實部的數值是a，虛部的數值是b。例如，2 3i是一個複數。由于數字有兩個部分，我們可以把它們看作是平面上的點。

複數在現代數學的發展中起到了至關重要的作用。然而，它們在剛提出時在科學界引起了很多争議。有人反對它們，認為沒有必要引入它們。複數的确很抽象，然而，如果沒有它們，現代的大部分代數、數論和物理學就不會存在。而且，我們可能永遠不會發展出四元數、八元數等，這是以後的話題了。

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