提要

分析法就是執果索因的解題方法，即首先抓住問題的結論，追索結論成立的條件，該條件找到後，在追索該條件成立的另一個條件，這樣一直追索下去，直到最後出現顯然成立的條件；綜合法是一種由因索果的解題方法，從順序上看其與分析法恰好相反，是從已知到未知（即從題設到結論）的推理方。解題時，分析法和綜合法是交替使用的。

知識全解

一．分析法的概念

解數學問題，若從命題的結論出發，根據已知的定義、公理和定理逐步尋找這個結論成立的條件，直至這個結論成立的條件就是已知條件，這種方法叫作分析法。它的思維形式是逆向推理。

對問題的分析過程不能代替解答過程的書寫，通常是“倒退着分析”，書寫解題過程時則需反過來“順着書寫”。

二．綜合法的概念

解數學問題，若從已知條件出發，運用已學過的公理、定義和定理逐步推理，直到推出結論為止，這種方法叫作綜合法。

用綜合法進行推理時，語氣是肯定的，且每一步推理都必須是正确的。書寫時應先寫原因後寫結論，一般都用“因為……，所以……”來表述推理。在叙述過程中，當前面一步陳述的結論，同時是後面一步陳述的條件時，常把後一步推理的條件省略不寫。

三．分析綜合法的概念

對于比較複雜的數學問題，利用分析法和綜合法很難解決問題，常常将分析法和綜合法結合起來使用。一方面從已知條件入手，看能推出什麼結論；另一方面從結論着眼，想需要找到什麼條件，從而找到解題途徑。這種方法稱為分析綜合法。

尋求解題要因題而異，有時用分析法，有時用綜合法；有時用分析法分析思路，用綜合法書寫表達；有時分析法，綜合法同時并用，一邊分析，一邊綜合或交替使用。

四．分析法，綜合法的解題策略

應用分析法證明數學問題，尤其是證明幾何問題時，語言是假定的；若要證明A成立則先證明B成立，若要證明B成立，則先證明C成立……

應用綜台法時，語氣是肯定的，且每一步的推理都必須是正确的。解題時，分析是為了綜合，綜合又必須根據分析。因而有的題目往往同時應用兩種方法：一邊分析，一邊綜合，有時甚至交替運用。

學法指導

類型1 分析法

如圖所示

在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，将△ADE沿AE對折至△AFE，延長交BC于點G，連接AG。

(1)求證：△ABG≌△AFG;

(2)求BG的長．

【解析】(1)要證△ABG≌△AFG，由正方形的性質可知∠B=∠D=90度，AD=AB。又由折疊的性質可知AD=AF，∠AFE=∠D =90度，進而∠AFG=∠B,AB=AF,結合公共邊AG=AG,利用“HL”即可證明Rt△ABG≌Rt△AFG

(2) 欲求BG，由(1)可知BG=FG。故可設BG=FG=x,則GC=6-x，由點E為CD中點及折疊性質，可知CE=EF=DE=3，EG=x 3，則在Rt△CGE中，根據勾股定理可列出關于x的一元一次方程，解之即得答案。

【點評】用分析法解題目的性強，思維過程比較自然，容易找到解題思路。解題時，往往用分析法找解題途徑，用綜合法表達解題過程，書寫時隻需将分析思路反叙述即可。

類型2 綜合法

例2 如圖所示

四邊形ABCD是⊙O的内接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE。

（1）求證：∠A=∠AEB

（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD。求證：△ABE是等邊三角形。

【證明】（1)∵四邊形ABCD是⊙O的内接四邊形，∴∠A ∠BCD=180度

∵∠DCE ∠BCD=180度，∴∠A=∠DCE

∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB

∴∠A=∠AEB

(2)∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等腰三角形

∵OE⊥CD，∴CF=DF

∴OE是CD的垂直平分線

∴ED=EC

又∵DC=DE，∴DC=DE=EC

∴△DCE是等邊三角形

∴∠AEB=60度

∴△AEB是等邊三角形

【點評】本題就是利用綜合法證明的，運用綜合法解題的關鍵是由已知條件得出結論成立的條件。要充分挖掘幾何圖形的性質。

類型3 分析綜合法

例3 已知：如圖所示

在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥AC交AC于F，過F作FG‖AB于G。求證：

證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴AD=BC，∠D=∠BCE=90度

∵DE=CE

∴△ADE≌△BCE ∴AE=BE

∵FG‖AB，

∴AG=BF

∵∠ABC=∠BFC=90度，∴∠ABF=∠BCF

∴△BCF∽△ABF

再按分析法進行分析。因此使用分析綜合法可先從分析法入手，當思路受阻時，再運用綜合法進行推理，再結合分析法分析，兩種方法交替使用。當由已知條件推出的結論與要證的結論所需的條件相吻合時，解題途徑就暢通了。

鍊接中考

考點1 用分析綜合法計算

例1 我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，後人稱其為“趙爽弦圖”，下圖由弦圖變化得到，它是由8個全等的直角三角形拼接而成的。記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分别為S1,S2,S3。若正方形EFGH的邊長為2，則S1 S2 S3=___

【解析】如圖所示，因為8個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，所以CG=KG,CF=DG=KF。所以

考點2 用分析綜合法進行推理論證

例2 如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O外一點，AM是⊙O的直徑，∠PAC=∠ABC

（1）求證：PA是⊙O的且線

（2）連接PB與AC交于點D，與⊙O交于點E，F為BC上的一點，若M為弧BC的中點，且

∠DCF=∠P,求證：

【解析】如下圖所示

連接CM，根據圓周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC,由∠M ∠MAC=90度，得出∠PAC ∠MAC=90度，即∠MAP=90度，問題得證。

連接AE，如上圖所示。根據垂徑定理知AM⊥BC，進而AP‖BC，所以△ADP∽△CDB，

證明：（1）連接CM

∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC

∴∠PAC=∠M

∵AM是直徑

∴∠ACM=90度

∴△ACM中，∠M ∠MAC=90度

∴∠PAC ∠MAC=90度，即∠MAP=90度

∴MA⊥AP

∴PA是⊙O的切線

（2)連接AE

∵M是弧BC中點，AM為⊙O的直徑

∴AM⊥BC

∵AM⊥AP

∴AP‖BC

∴△ADP∽△CDB

∵AP‖BC

∴∠P=∠CBD

∵∠CBD=∠CAE

∴∠P=∠CAE

∵∠P=∠DCF

∴∠DCF=∠CAE

∵∠ADE=∠CDF

∴△ADE∽△CDF

【點評】本題綜合考查了圓周角定理，切線的判定，垂徑定理，三角形相似的判定和性質，添加恰當的輔助線是關鍵。

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