嚴格來講，工程角度的微積分，到這篇結束了。雖然題目是場論，但這裡讨論一下三度——梯度、散度和旋度。弄清場論的前提是弄楚這三度。就像理解多元函數微積分，基本功是矢量運算。

關于散度和旋度，之前有兩篇文章，可以參考，這裡就不再寫了。

微積分筆記——斯托克斯公式的物理意義

微積分筆記——高斯公式的物理意義

這裡沿着這兩篇文章繼續讨論兩個問題。

根據之前的分析，我們可以進一步理解散度和旋度。

設空間中有一個封閉區域，内部有一個源（或數個源），以某種方式形成一個矢量場，則這個矢量場對區域邊界有兩個作用：

• “瞄着”區域邊界的作用，造成邊界膨脹的效果，就是散度要描述的；
• “切着”區域邊界的作用，造成區域自旋的效果，就是旋度要描述的。

如果這個源本身不帶有自旋，可能對邊界沒有“切向”作用，如點電荷産生的電場。如果這個源本身在旋轉，則可能對邊界起到旋轉作用。想象一個水桶，底部有一個漏點，桶裡的水流入該漏點并繞着漏點發生旋轉。水流場可以認為是一個矢量場。如果圍着漏點，放置一根圓形的橡皮筋。則這根橡皮筋一方面受到水流沖擊有縮小的趨勢，另一方面會順着渦流的旋轉而旋轉。這就是散度和旋度。如果這個水桶放在赤道上，則這個漏點不産生旋渦，就相當于一個沒有自旋的矢量場。

從外微分算子考察：

0階外微分形式的外微分算子運算

一階外微分形式的外微分算子運算

二階外微分形式的外微分算子運算

對比發現：

• “0階外微分形式的外微分算子運算”對應“梯度”；
• “一階外微分形式的外微分算子運算”對應“旋度”；
• “二階外微分形式的外微分算子運算”對應“散度”。

從外微分的角度看，三維空間不可能再産生其他的度，因為三階外微分形式的外微分算子運算為0。或者從數量場和矢量場的相互轉換的角度分析：

• “數量場->矢量場”的運算：梯度；
• “矢量場->數量場”的運算：散度；
• “矢量場->矢量場”的運算：旋度；
• “數量場->數量場”的運算：沒有這樣的運算，或類比三階外微分形式的外微分算子運算為0，即得到的數量場處處為0。

從兩類場的轉化角度看，也不可能有其他的度了。

微積分到這裡為止，已經可以算是結束了。當然，這裡的“微積分”指的是古典意義上的微積分，也即在工程應用的角度看。

之後的級數，一般安排在教材的最後一章讨論。級數的概念，在工程應用的角度，是教我們如何用一系列“好函數”代替壞函數。這個好函數是容易求導求積分，容易接超越方程。什麼叫“一系列”函數（即函數項級數），哪些是“好的一系列”（幂級數、三角級數、傅裡葉級數），這些是在數學的範疇裡嚴格定義和讨論的。對于工科來說，簡單多了，拿來用就是。

關于傅裡葉，這裡開個頭，下篇專門讨論。傅裡葉絕對是工科的噩夢，老外工科本科四年可以說是圍繞着傅裡葉，江湖人稱four years translate。要理解傅裡葉變換，首先得理解傅裡葉級數。雖然傅裡葉級數是從函數項級數引出，但要徹底理解其數學意義，需要一點點線性代數的概念。

傅裡葉級數，從線性代數的角度，本質上，是空間變換，用另一組正交基描述f(t)。

結合一點信号與系統，我們在時域上，f(t)可以看成一系列調制過的單位沖激函數。這個“單位沖激函數”是不是可以看成時域的“正交基”？細品！同理，傅裡葉變換也是。從這個角度體會“時域”到“頻域”的變換。是不是空間變換？

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