之所以寫這篇文章，目的在于縷清函數極限、連續、可導、可微内在思路，隻要思路清晰了，我們才可以做到心裡有理有據，大方向不出錯。

函數的極限、連續、可導、可微是怎麼步步為營，層層遞進的。

首先我們看看極限是怎麼提出來的？極限：無限靠近而永遠不能到達，英文名字limit，極限符号就是取縮寫lim，它就是一個符号，意思是自變量x取值靠近一個數，函數值是多少。

在計算曲線長度的時候，我們不會測量曲線的長度，隻能把曲線不斷分割，再把分割的線近似等于直線來測量，這樣下來我們就可以得到曲線的近似長度；那怎麼更加逼近曲線真是長度呢？隻有切割無限多無窮小的直線才可以更真是模拟曲線長度，這裡的無窮小，到底是多小呢？在數字中數學0是最小的，無窮小隻有無限逼近0但不能等于0，這樣才可以劃分的最小，無窮小是一個動态的變化的數值，在數學中是不能計算出具體結果的，于是數學家引入一個新的數學概念---極限，無窮小的極限等于0，是具體的數值，這樣我們就利用無窮小的極限來進行計算了。

為了形象表達極就是動态變化的，我們拿0.999...... 數字9無限循環下去，這個數字一直在變化，我們可以取它極限也就是1拿來計算。

為什麼需要求極限，凡是涉及無窮的問題都是需要求極限的問題，因為無窮就是一個動态變化過程，不能直接求出精确數值，隻能利用極限思想求值。

極限我們是可以從不同方向求取的，也就是左極限和右極限，如下圖我們可以求出一段函數的左極限或者右極限。

有了極限思想，那麼函數的連續性就自然而然解決了，如果函數上點P，在P點可以向左移動無窮小，也可以向右邊移動無窮小，那麼我們就說函數在點P處是連續的，因為無窮小是任意小，隻要你想到多小就有多小，中間是沒有縫隙的，也就是說隻有P點的左極限和右極限相等時，才能說明函數是在點P處連續的，極限唯一确定才連續。連續是不管是不是光滑，尖角也可以是連續的例如圖中點b處。

有了連續概念，接下來我需要研究連續函數的光滑程度，變化方向，也就是導數，導數具有導向、向導含義，也就是表示方向的意思。導數幾何意義就是在點P的切線，也就是正切值。切線就是觸碰的意思，既然有方向性就有正負,具有矢量性質。要是要求函數的導數存在也就是導數是确唯一的，那上圖做例子，b點左側的到時是負值，右側的導數是正值，從左邊導數和從右邊導數是不相等的，說明在b點導數是不存在的，導數是驗證函數變化方向和變化光滑程度。

接下來我們看看可微，可微也就是可以劃分成微小的區域，在一元函數中，也就是可以把曲線切割開來，隻要足夠小，劃分區域就可以等同直線，這就和導數含義一緻了。所以在在一元函數中，可微和可導是等價的；

但是在二元函數中，可微是把曲面劃分成微小的直面，也就是平面，是以直面代替曲面進行計算，利用微平面計算。但是可導呢？可導還是一維産物，是在一個方向的變化程度，一個二維直面和一個一維直線段是不能等價。所以在二元函數中，可微和可導不是等價的。

我們來梳理一下，極限、連續、可導、可微的遞進關系：

一個函數點A是可以從左邊和右邊兩個方向求極限的，左極限和右極限可以相等也可以不相等；隻有點A左極限和有限性相等的時候，我們才可以說函數在點A是連續的，連續是個标量，沒有方向，也就是尖角和圓滑角都可以連續；導數是方向，切線，也是有方向的，尖角處左導數和右導數是不相等的，隻有左右導數是相等的才是說明點A處可導；可導是方向是一維空間，可微是微線段、微直面、微立體等等是不同維度的，隻有一維空間的位線段可微和可導是等價的，但是到微直面、微立體的可微是多維度的，不能和一維度的可導等價。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!