函數是整個高中數學的基礎。而我們研究函數，通常都研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性、圖像等。高一高二階段，對函數性質的研究，主要還是“單打獨鬥”型的，基本不會涉及到兩種性質内在的聯系。而到了高三，要求就要相對高一點，要考慮兩種甚至多種性質内在的聯系。函數的對稱性和周期性，這兩個性質有很多内在的聯系，也常常成為各類測試的熱門考點。今天就帶大家一起來看看對稱性和周期性“複合”之後的美妙結果。

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函數的對稱性和周期性的定義

對稱性分為軸對稱和中心對稱兩種，

若函數 f(x) 關于直線 x=a 對稱，則 f(a x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x)；

若函數 f(x) 關于點（a,b）中心對稱，則 f(a x) f(a-x)=2b 或 f(x) f(2a-x)=2b;

若函數 f(x) 具有周期T（T>0），則 f(x)=f(x T)。

若函數 f(x)滿足f(a x)=f(b x)，則 函數 f(x) 具有周期 T=|a-b|。

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周期性和對稱性的内在聯系

對于常函數來數，它即是周期函數，也有無數個對稱中心和對稱軸。那麼很自然的我們會有下列問題：

問題1：如果一個函數f(x)既關于直線x=a對稱，又關于直線x=b對稱，函數f(x)會具有什麼樣的性質呢？

問題2：如果一個函數f(x)既關于點（a,b）中心對稱，又關于點（c,d）中心對稱，函數f(x)會具有什麼樣的性質呢？

問題3：一個函數f(x)關于直線x=a對稱，同時又關于點（c,d）中心對稱，那麼函數f(x)會具有什麼樣的性質呢？

問題4：一個函數f(x)有周期T，又有周期S，那麼函數f(x)會具有什麼樣的性質呢？

對于上述問題的答案，我們先給出結果：

結論1：f(x)具有周期T，且T=2|a-b|。

結論2：若b=d，則f(x)具有周期T，且T=2|a-c|。若b不同于d，則f(x)沒有周期。

結論3：若b=d，則f(x)具有周期T，且T=4|a-c|。

結論4：函數f(x)具有周期R，若S和T均為整數，則R=（S,T），即S和T的最大公約數。

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結論的證明和變式

結論1證明：因f(2b-x)=f(x)=f(2a-x)，故周期為2|a-b|。

結論2證明：因f(x) f(2a-x)=2b，f(x) f(2c-x)=2d，

若b=d，則 f(2a-x)= f(2c-x)，結論成立。

若b不同于d，則f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d，

令2a-x=t，2a-2c=p，2b-2d=q，則 f(t)-f(t-p)=q，

即周期性不存在。

結論3證明：因f(x)=f(2a-x)，f(x) f(2c-x)=2d，

則 f(2a-x) f(2c-x)=2d，令2a-x=t，2a-2c=p，

則 f(t) f(t-p)=2d，故f(t-p) f(t-2p)=2d，即f(t)=f(t-2p)，

故周期為4|a-c|。

結論4證明：由輾轉相除法即得。

從上面的證明過程來看，我們會得到另外兩個結論（證明略）：

結論5：若周期為2|a-b| 的函數f(x)關于直線x=a對稱，那麼函數f(x)關于直線x=b對稱。

結論6：若周期為2|a-c| 的函數f(x)關于點（a,b）中心對稱，那麼函數f(x)關于點（c,b）中心對稱。

一般的，我們通常會考慮對稱中心在x軸上的情況。這樣一來，就和函數的奇偶性問題聯系上了。例如：奇函數 f(x)關于直線x=a對稱，則具有周期4|a|。

此外，具有周期的奇函數還有一個很重要的性質：

若定義在R上的奇函數 f(x) 周期為2T，則f(T)=0。

證明：因 f(T)=f(-T)=-f(T),故f(T)=0。

即奇函數在半周期的位置函數值為0，這與f(0)=0一樣，都是奇函數非常重要的性質。

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簡單應用

證明：因 f(2-x)=f(2 x)，則f(x)關于直線x=2對稱。同理f(x)關于直線x=7對稱，則函數以10為周期。故隻需要證明在[0,10）上至少有2個根就可以了。因f(0)=0，且關于直線x=2對稱，故f(4)=0，命題得證。

若上述函數為奇函數，則問題會變的更加麻煩。首先奇函數關于原點對稱，又關于直線x=2對稱，故有周期8。再次函數還關于直線x=7對稱，故有周期28，再加上周期10，故函數有周期2。因此在[0,10)上有5個零點。由奇函數的性質，在半周期的位置函數值也為0，故還有5個零點，共10個零點，因此在[-30,30]上方程f(x)=0至少有61個根。

當然也可以改為偶函數，讀者可以自行解決。

注：本文由愛吃菠蘿蜜供稿。

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